复合函数求导

2024-06-26 本文已影响0人 jeffbourbaki

$(\sin x)'=\cos x$
$(\sin 2x)'$

链式法则

$y=f(\phi(x))$
设中间变量 $u=\phi(x)$

有 $y=f(u)$ ， $u=\phi(x)$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

$y=\sin(ax+b)$ ，求 $y'$
设中间变量 $u=ax+b$
$y=\sin u$ , $u=ax+b$

$y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\cos u\cdot a=a\cos(ax+b)$

$y=\ln(x^2+1)$ ，求 $y'$
设中间变量 $u=x^2+1$
$y=\ln u$ ， $u=x^2+1$
$y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{u}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2+1}$

复合函数求导

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