连续傅里叶变换和离散傅里叶变换

网上关于从连续傅里叶变换推导出离散傅里叶变换公式的资料好像比较少，博主查阅了不少资料，总结出了一个推导的思路，现在分享给大家。

先给出连续傅里叶变换的公式：
正变换:

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傅里叶逆变换：
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下面，再给出离散傅里叶变换的公式：
正变换:
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逆变换

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表面上看，两道公式比较难联系起来，因为连续变换公式的积分限和离散公式的求和范围就有着较大的差异，再者，连续逆变换公式和离散逆变换公式前面的系数也有较大的差别。下面将通过公式推导将这两种变换联系起来。

如果某函数f(t)在无穷区间上连续的，又满足f(t+2Pi)=f(t)，那么f(t)的傅里叶变换可以写成

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那么上式也可以推出下面这个式子：

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这两个式子其实是等价的。下面简单正面一下这两道公式为什么等价。
证明，假设有

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那么就有
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令

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就有
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上面公式当且仅当ω大于等于0，且ω为整数时成立。
联想一下，离散傅里叶公式的ω就是离散的，它的取值就是整数，这种关系是不是很微妙？

现在开始推导公式
我们考虑积分

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以步长h=2Pi/N近似积分它，我们利用梯形积分法来近似代替，即有

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其中，

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所以有

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还记得傅里叶级数公式吗？傅里叶级数公式就是

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其中，

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对于上面讨论的f(x)来说，假设其定义在 (0,2Pi)
因此，
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利用上面讨论出的近似代替的原理，就有

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式中j虚数单位，因为频率ω也是离散的，所以这里用k代替了频率ω.
上式还可以简化一点，写成如下的形式

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其中

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这里，令 image

这就是离散傅里叶变换的公式了。那么离散傅里叶逆变换的公式又是怎样呢，我们可以根据连续傅里叶逆变换的公式来写出。
首先给出连续傅里叶逆变换的公式：

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类似地，根据梯形积分近似代替的原理，容易写出离散傅里叶逆变换的公式，有

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这里，将推导出来的正逆变换公式写在下面，有

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而本文开头给出的公式是

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对比一下可以发现一些微小的差异，一个就是1/N的位置的差异（其实1/N的位置放在正变换还是逆变换都是可以的）。为什么会出现这种差异呢？
主要原因是我是用

来开始推导正变换公式的,如果我用

推导的话，那么可以很容易想到1/N将不会出现在正变换公式里。

以上推导讲完了，那么究竟离散傅里叶变换和连续傅里叶变换有什么关系呢？离散傅里叶变换的时间和频率都是离散的，而连续傅里叶变换的时间和频率都是连续的，怎样将这种关系对应起来呢？这里我谈谈个人的理解。我们知道离散傅里叶变换的存在是为了使得傅里叶变换能够在计算机中进行运算处理，而计算机是没办法处理连续信号的，所以唯有将连续信号进行离散化。如何离散化呢？根据上面的公式推导，我们可以理解：假设有某个定义在（0,2π）的连续信号f（t），对其进行采样，采样点数为N，利用梯形求积公式便可得到离散傅里叶正变换公式了。
反正这个离散点数为N的信号序列，它得对应定义在（0,2Pi）的假想的信号f(t)。这样对应起来，这个离散傅里叶变换的公式就好推出来了。至于逆变换的公式的推导，则可以函数展成复指数形式的傅里叶级数的公式推得。这里就不展开了。