OpenGL笔记九：3D数学小记

前言

期待您移步上篇：OpenGL笔记八：2D纹理坐标解析

向量大小计算：

||V|| : 为向量V的模。

向量大小计算公式.png

向量与标量的除法：

向量与标量的除法.png

标准化向量：

标准化向量.png

示例：

示例-1.png

零向量是不能被标准的，数学是上不允许的。因为将导致除数为0，几何上没有意义。因为零向量没有方向。

向量点乘

向量点乘.png

点乘的几何意义

a • b = ||a|| ||b|| cos(q) 
//q为a，b向量的夹角

• 3D中，两向量的夹⻆角是在包含两向量的平⾯中定义的。

  
  点乘夹角q.png
• ⽤点乘计算2个向量之间的夹⻆角q,如果a,b都是单位向量

q = arccos ( a • b )

a·b	q角度	a 和 b
>0	0° ≤ q < 90°	方向基本相同
=0	q = 90°	正交
<0	90° < q ≤ 180°	方向基本相反

示例：

示例-1.png
示例-2.png

向量叉乘

向量叉乘.png

向量的叉乘⼏何意义

• 向量a,b在⼀个平⾯中。向量a * b 指向该平⾯的正上⽅，垂直于a 和b a * b 的⻓长度等于向量的⼤⼩与向量夹⻆角的sin值的积，如下:

|| a * b || = ||a|| ||b|| sin∂

矩阵基础

标量与矩阵相乘

标量与矩阵相乘.png

矩阵与矩阵相乘

A_rn * B_nm = C_rm
即：r行n列矩阵A 叉乘 n行m列矩阵B = r行m列矩阵C

• 矩阵相乘法则：对结果中的任意元素C_ij，取A的第i⾏和第j列，将⾏和列中的对应元素相乘。然后将结果相加等于A的i行和B的j列的点积）。Cij就等于这个和。
  矩阵相乘.png
  示例.png

矩阵乘法注意事项：

• 1.任意矩阵M乘以⽅阵S,不管从哪边乘，都得到与原矩阵⼤⼩相同的矩阵。当然，前提是假定乘法有意义。如果S是单位 矩阵，结果就是原矩阵M，即:MI = IM = M 。
• 2.矩阵乘法不满⾜交换律，即:AB != BA
• 3.矩阵乘法满⾜结合律，即:(AB)C = A(BC)。假定ABC的维数使得其乘法有意义，要注意如果(AB)C有意义，那么A(BC)就 ⼀定有意义。
• 4.矩阵乘法也满⾜与标量或向量的结合律，即:(kA)B = k(AB) = A(kB); (vA)B = v(AB);
• 5.矩阵积的转置相当于先转置矩阵然后以相反的顺序乘法，即：(AB)T = BT AT

矩阵与向量相乘 注意事项：

• 1.结果向量中的每个元素都是原向量与矩阵中单独⾏或列的点积；
• 2.矩阵⼀向量乘法满⾜对向量加法的分配律，对于向量v,w 和 矩阵M 有，
  (v + w)M = vM + wM;

矩阵⼏何意义

1.⽅阵的⾏能被解释为坐标系的基向量；
2.为了将向量从原坐标系变换到新坐标系，⽤它乘以⼀个矩阵。
3.从原坐标系到这些基向量定义的新坐标系的变化是⼀种线性变换。线性变换保持直线和平⾏线。但角度、长度、 ⾯积或体积可能会改变。
4.零向量乘以任何矩阵仍然得到零向量。因此，⽅阵所代表的线性变换的原点和原坐标系原点⼀致。变换不包含 原点。

3D旋转 围绕任意轴旋转向量

绕n轴旋转⻆角度∂之后的矩阵：

任意轴旋转公式.png

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