向量空间

2019-11-22  本文已影响0人  madao756

0X00 向量空间的基本定义

我们定义向量空间 V （其实就是一堆向量）它有以下性质：

0X01 向量空间的基与坐标

我们把向量空间看做一组向量，那么它的最大无关组就是向量空间的一个基

接下来我们来说坐标的概念：

对 V 来说它的一组基是 \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r 那么对于 \forall x \in V 可唯一的表示：

x = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2 + \cdots + \lambda_r \alpha_r

那么 (\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r)^T 为向量 x 在基 \alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_r 下的坐标：

x = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_r] \left[\begin{matrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\vdots\\\lambda_n\end{matrix}\right]

由于向量空间的最大无关组可能不唯一，我们考虑以下几个问题：

基之间的转换

由于最大无关组之间可以相互转换，所以不同基之间也可以相互转换

假设有这样两组基：\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r 和 \beta_1, \beta_2,\cdots, \beta，则有

[\beta_1, \beta_2,\cdots, \beta_r] = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r]\left[\begin{matrix}p_{11}&p_{21}&\cdots&p_{n1}\\p_{12}&p_{22}&\cdots&p_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\p_{1n}&p_{2n}&\cdots&p_{nn}\end{matrix}\right]

我们把 \left[\begin{matrix}p_{11}&p_{21}&\cdots&p_{n1}\\p_{12}&p_{22}&\cdots&p_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\p_{1n}&p_{2n}&\cdots&p_{nn}\end{matrix}\right] 称做 P 把 [\beta_1, \beta_2,\cdots, \beta_r] 称做 B 把 \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r 称做 A

所以有：B = AP 解得：P = A^{-1}B

不同基下的坐标转换

有了 P 之后，我们可以完成不同基之间的转换：

假设我们在 A 基下有一个坐标 x 那么求得在 B 下的坐标 x_B = Px

上一篇下一篇

猜你喜欢

热点阅读