狭义相对论讲授（纲要）

一、物理定律的变换与不变性

二、光速测量及以太理论的破产

三、爱因斯坦假定与洛仑兹变换

四、相对论运动学、四维矢量

五、相对论动力学

六、狭义相对论与电磁学（略）

一、物理定律的变换与不变性

1．伽利略的力学相对性原理

①牛顿的力学三定律；

②伽利略变换；

③伽利略变换下力学规律（定律）的形式不变性；

④伽利略变换是力学规律不变性的充分条件，而非必要条件（充分而不必要），充分而不唯一；

⑤牛顿的绝对时空概念。

时空线性变换的一般讨论

前提：

1．相对性原理（不变性与协变性的概念）

2．时间及长度测量的相对性或光速不变原理

试举例分析：

机械波的波动方程与波速问题

       

其中是相对于介质所在的特定惯性，故v也是相对于介质这一特定参照系。观察者相对于介质有一运动速度时，他测得的波速用相加原理。这与力学相对性原理并不抵触。

波速（相对于介质）与波源的运动状态无关（这一点与光速相同）。

2．电磁波的波动方程

  （J.C. Maxwell）1861年建立

m2/s2

c = 3×108m/s恰为真空光速。

具有波动方程的形式

1867年H.R.Hertz证实电磁波的存在（c来源于麦氏方程的真空形式）。麦氏方程的建立并没依仗于某一参照录。

附：庞加莱对相对性原理的推广。

庞加莱（又译彭加勒）（H.Poincaré）合理的推理——麦氏方程的真空形式对不同惯性系是形式不变的，即不能通过惯性系内部进行的电磁学及光学实验来确定该系统的绝对运动或绝对静止——把相对性原理推广到电磁、光学领域。

H. Poincare坚信相对性原理，1899年断定借助光学观测测定绝对运动之不可能性，1904年在一篇论文中扩展了其思想。

①洛仑兹收兹收缩（实际收缩）

②质量随速度而增大

③光速c作为动力学的极限速度

④不放弃Ether假设

问题的症结在于对时空本质的认识。

人们先念地认为存在一种Ether媒质，即以机械波的模式解释电磁波

                              非常大的弹性模量

以太特性  非常小的惯性密度

                              透明性

使“以太”论破灭的几个重要实验

1．1881年、1887年A.A.michelson与E.W.Morley所进行的实验

（图略）

v=3.0×104m/s，c=3.0×108m/s

当l=11.0m时，（个）（条纹级数）这是一个与有关的实验。称为二级效应。

结果没有观察到预期的条纹的移动。

说明若有以太，以太必为地球完全拖拽。

V=0

恒星的光行差现象

如图称为光行差角

得到实测的验证。

结果说明以太完全不被地球所拖拽。若恒星不在观察正上方，而是位于与黄道平面（公转平面）夹角为的上方，则：

布喇德雷对天龙座星进行了一年的观测，与计算结果极为接近。

斐索拖曳实验

1851年（H.L.Fizeau）斐索做了一个著名的以太拖曳实验

干涉条纹移动数目：

这是与有关的一级效应。其中k为拖曳系数：

结果测得：

（1818年菲涅耳推出：）

本实验证明以太被部分拖曳。

这就是以太论的不可调和的矛盾。

狭义相对论基础

一、相对论和量子力学是近代物理的两大理论支柱。

            狭义相对论  special relativity（特殊）

相对论

          广义相对论  general relativity（一般）

二、相对论诞生的背景

十九世纪末，二十世纪初，经典力学、热力学及电磁学已系统而接于完备地建立起来，但在晴朗的物理学的天空，还飘浮着两朵“乌云”。

                  绝对黑体辐射的紫外发散“灾难”——量子论的诞生

      两朵乌云    迈克耳逊—莫雷实验

                  以太论的破灭

三、爱因斯坦建立狭义相对论的考虑（思想）

1．参照——伽利略的力学相对论，即：力学现象对一切惯性系而言，都遵守同样的（物理）规律，即力学规律对一切惯性系都是等价的。

但电磁场的麦克斯韦方程组在伽利略变换下却不能保持其形式的不变性——局限性。

所谓相对论：就是物理规律在某种变换（时空座标）之下保持形式的不变性。

在伽里略变换之下：

  或     

系沿x轴以速度u相对于S系运动。

由此：

  及   

另外：（与速度无关）。

，（力学相对性）

这就是力学相对性的数学表达。

2．牛顿的绝对时空概念是伽利略变换的基本前提，但并不是力学相对性原理的前提。

3．爱因斯坦狭义相对论基本假设（公理）

1905《运动物体的电动力学》（A.Einstein）

①物理学相对性原理：物理学定律在所有惯性系中都是相同的，亦即物理学定律与惯性系的选择无关。所有的惯性系都是等价的。

②光速不变原理：在所有惯性系中，由自空间（真空）中的光速具有相同的量值c，与观察者及光源的运动无关。

③第一个假设说明（意味着）所有的物理定律（包括力、电、光、热）等都应遵守同样的相对性原理——力学相对性原理的推广。这里，相对性——在某种变换之下，所有物理规律都具有形式不变性——具体表现为在爱因斯坦——洛仑兹变换之下许多物理量及物理方程具有协变性。

第一假设也否定了绝对时空的存在。

④第二假设与迈一莫实验结果一致，但显然与伽利略变换不相容。它隐含着一个前提——对于电磁波的传播来说，真空是各向同性的。

⑤爱因斯坦在他的两个基本假设的前提下，推导出正确的物理定律相对性变换表达式。

洛仑兹在此之前在承认以太的基础上，也曾提出这一套变换式（错误的前提→正确的结果）。

四、洛仑兹变换

  或     

该变换式的简单推导：

如图：系沿S系之X轴正向运动（速度为u）。

两系原点重合的时刻，t=0，，此时收射一光信号，在时刻到达P点（X轴上），根据光速不变原理：

，，（S系中）

，，（系中）

S系与系之间应有变换：

  或 

因P点选在X（或）轴上，，，故上述变换中无，，，项。该变换座是线性的（因为自S系或系观察同一事件的结果座是一一对应的）。——（自S系观察到一个结果，那么自系也只能观察到一个结果。）

又  t时刻，对的点座有（同时成立）

（1）

时刻，x=0的点座有而有，

（2）

联立（1），（2）

（3）

由及（3）式可知：

于是： ，

其中：，。

五、结论

洛仑兹——爱因斯坦—洛仑兹变换。

       

（从S系→系变换）      （从系→S系变换）

对低速情况，，，。

故有：。

故伽利略变换是洛仑兹变换在低速下的极限形式。

洛仑兹变换（他种推导法）

一、前提：

1．物理学相对性原理

2．光速不变原理

其作用与地位。类似于平面欧几里德几何中七条公设的地位。

二、变换的特点：

1．线性（正交）变换

2．一一对应（在S系——系变）

并加注明：“线性变换”的限制。

“一一对应”的限制。

三、洛仑兹变换的推导

如图：系沿S系之X轴向右均速直线运动速度为V。

首先：，。

记时起点：时两座档系原点0，重合，考虑0点的运动。

因而：  ①

而不可能有：（n>1）

否则违反变换的线性及一一对应的要求。（举例：当n=2时，一头猪变两头猪之不可能性）

再考虑的运动：

如法炮制：（同0点之理）

  ②

而不可能有（n>1）①、②的普适性。（对任意事件）

特殊事件：

时，一光子自0点（点）沿x轴发射：

又  （惯性系S，之平权性、变换之可逆性）

将③④代入①、②并联立①、②、⑤可得：

两式相乘：

于是：；

可得

故

其递变换：

四、其意义：洛仑兹是四维闵科斯基时空的线性正交的变换，有了这一变换，任意其它四维矢量的变换也都遵从同一变换形式。

并解释这一变换被称为洛仑兹变换的原因。

§20.4  相对论中的长度与时间

一、①狭义相对论最基本的一点就是对经典力学的绝对时空观进行了一次彻底的清算和深刻的革命。

②经典力学中，物体的长度和两事间的时间间隔是具有绝对意义的，不随观察者的运动状态而变（即与观测的参考系的选择无关）。

③狭义相对论中，物体的长度依观测者所在的参考系而定，两事件之间的时间间隔也是依观测者所在的参考系而定，因此“长度”与“时间”只具有相对意义。

二、狭义相对论中“动尺缩短”的效应

在与动尺（一根长棒、沿，轴放置）相对静止的参考系系中测得棒长，叫做固有长度或本征长度。

在相对于长棒运动（沿-X轴方向以-v速度运动）的参考系中（S系），欲测棒长须同时测定两端点的坐标，，则S系中：（t时刻）

叫运动长度或相对论长度

由洛仑兹变换：

故：

即： 或

这就是所谓动尺缩短效应。

注意：①相对于观测者运动的方向（x轴方向）物体的长度“缩短”了，而垂直于运动方向物体的线度（y向，z向）沿变。

②动尺缩短的效应，并不是动尺在运动方向受到某种“压缩”作用，而是一种相对论效应，动尺的长度本来就只有相对意义，与其运动状态有关。

③动尺缩短效应也不是一种视觉效果，不是一种观测上的错觉和幻觉。

三、狭义相对论中“动钟变缓”效应或时间膨胀的效应

设一事件在系中某点处发生，用固定在系中时钟来量度，这事件发生于时刻，另一事件也在处发生于时刻，两者之间的时间间隔。叫做固有时间或本征时间。而从固定在S系中的时钟测量时，前一事件在时刻发生于x1处，后一事件在t2时刻发生于x2处（一般）而：

，

，

则

：S系中观测的时间间隔；

：固有时间；

：即时间膨胀效应的表达式。

即：一时钟由一个与它作相对运动的观测者来说，就比由相对静止的惯性系中观察时走得慢些。

四、孪生子佯谬的简单阐释

五、举例

①书中例题P118，例20-3，例20-4（P120）。

②球在运动时的形状（方程）。

习题册，作业布置。

§20-5  相对论动力学基础

一、问题的提出：若保留质量的绝对不变性矛盾：①从牛顿力学：若m不变，则：在恒力F作用下：

，这与v≤c相矛盾。

所以经典力学的质量概念必须进行相对论修正。

②动量守恒等定律也将不满足相对论变换的不变性。

S系：y方向：

（碰前）

但系中

若  系中必导致：

同样碰后：

且

因此：①必须对经典力学的质量的概念进行相对论的修正。

，m与物体的运动状态有关。。

②必须对牛顿经典动力学方程进行相对论修正：而保留动量的定义。

，

由知：

时，（F=常数）

这与且v≤c是自洽的（这就是）相对论的（在洛仑兹变换下）的理论的自洽性。

满足两个前提：

①光速极限，洛仑兹变换下不变性。

②相对论的极限近似→回到经典力学。即：极限兼容性。

相对论中的同时性与因果律

一、经典力学中同时性的概念

①经典力学中，若在惯性系K中观测的两件事件，是同时发生的，那么在惯性系中的观测也是同时发生的——从伽利略变换可直接导出。

②经典力学认为时间是绝对的，惯性系的改变不影响时间的量度。

③经典力学中，同时性具有绝对意义。

二、狭义相对论中的同时性的概念

①若在K系中观察两事件是同时发生的，那么系的观测就不一定是同时发生的。

②同时性是相对的，即相对于某一K系是同时的，不存在具有绝对意义的同时性。

三、同时性的相对性的证明

1．事件的时空表述

一事件P1发生于K系中t1时刻（x1, y1, z1）处，记为（x1, y1, z1, t1），另一事件P2在同一K系中发生于t2时刻（x2, y2, z2）处，记为（x2, y2, z2, t2）。

而在系中P1，P2分别发生于（），（）（相对K系沿x轴以速度v运动）。

根据洛仑兹变换

    则：

若两事件在K系观测是同时发生的，即：

（1）

这就是说：在K系中观测到的同时发生于不同地点的两个事件，在系中观测却不是同时发生的。同样，在系中观测到两事件发生于不同地点，那么，按洛仑兹变换，从K系中观测它们并不同时。

从（1）式可以看出：

①同时性的相对性的问题在于信号传递需要时间，假如信号的速度无穷大，则同时性将具有绝对意义。

②现实的日常生活中速度远小于光速，不同事件之间的空间距离至多是太阳系的尺度，因而同时性近似具有绝对性（光速可看成）。因此，我们未曾感觉到同时的相对性。

四、因果律及最大的信号速度

因果律的哲学含义此处不讲，我们处理的是两个事件在不同惯性系中的先后顺序问题。设K系中事件P1发生于t1时刻x1处，事件P2发生于时刻t2及x2处，且P2迟于P1发生，即

t2 ＞ t1

按洛仑兹变换

①若t2＞t1，且：

（2）

则：系中观测也有：，仍然是事件P1发生于前，事件P2发生于后（先后顺序不变）。

②反之，若。

则事件P2在前、事件P1在后（先后顺序颠倒）。

③但并不是所有两事件的先后顺序都是相对的（可颠倒的）。如果两个事件之间存在因果关系或间接的因果关系，则它们的称后次序是绝对的——不容颠倒的。（在任何惯性系中观测都是顺序不变的）。

两个事件P1（x1, t1），P2（x2, t2），若有因果联系，则存在从的信号传播，该信号速度代入（2）式：

（保持P1，P2先后次序不变的条件）。其中v是系相对于K系的运动速度。因而v也可看是一种信号速度。。

故：保证了具有因果关系的两事件的先后次序具有绝对意义（永不颠倒）。

因为：无数经验告诉我们：光速是物质运动（或信号传播）的最大速度，也是一切相互作用传播的极限速度。

在以上前提下，相对论的时空观完全符合因果律的要求（即狭义相对论在因果律问题中是自洽的）。

五、间接的因果关系问题举例

中国武汉（x1, t1）→美国纽约（x2, t2）

飞机起飞→飞机降落

武汉t1时刻A男孩出生P1→纽约t2时刻B孩出身P2

飞机的起飞→到达着陆是不可颠倒的因果关系。因而A男孩与B孩具有严格的长幼关系（兄弟关系）。P1与P2之间具有间接的因果关系。

例：1.在同一惯性系中不同地点同时发生两个事件，它们不存在因果关系，试证明（反证）：

信号传播速

故u＞c，这与光速是最大的信号传播速度矛盾。

例：在同一惯性系中同一地点不同时刻的两个事件的先后次序是绝对的（在任何其它系中都是这一次序）。

用证明。

相对论中的能量

前提：动量定律与功能原理

根据功能原理的相对论不变性：

外力作功=动能增量

（动量定律）

假设，则：

=

=

其中： ，

——总能量：一切形式的能量均包括在内。

——静能：一切形式内能总和。

——动能：由于运动而具有的动能。

与经典力学中动能的概念的异同：

作其关于的泰勒展开：

于是：

（）

这就是相对论中动能概念与经典力学中动能概念的联系与区别。爱因斯坦质能关系式发现的意义。

①在质量与能量的关系上实现了相对论基础上的统一。

质量与能量存在当量关系。

②它是现代热核反应的理论基础，现代核工业与核子技术的理论基础之一。

质能关系对人类无现实意义。

但意义重大（有现实意义），需要重新理解

——在质、能概念统一的前提下理解。

能量动量关系：

①三角关系：

②  （以光子为例讨论）

爱因斯坦光量子理论与德布罗意物质波理论在光子的相对论能量——动量三角关系中胜利会师。

间隔不变性与因果关系

一、三维空间笛卡尔坐标系中两点间隔

点，，在三维欧氏几何中，d对于坐标系的平移与转动变换是不变的。

二、四维Minkowski时空中两事件P1，P2的间隔S12。

事件 →世界点P1

→世界点P2

可正可负亦可为零，但在洛仑兹变换下保持不变：

即：

三、讨论

1． 类时间隔

这是因为：总存在一个参考系，使：

，，  而有：

也就是说：这两个事件在系中是被纯粹的时间间隔着，故谓之类时间隔（time-like）。具有类时间隔的两事件可具有因果关系或具有间接因果关系。（加以说明）

，,两异地小孩同时出生,其先后顺序具有不可颠倒性。

,人死不可复生，破镜不可重圆，覆水难收。

2． 类空间隔

此时，总存在一个参考系，使：

，而有：

事件P1，P2在系中被纯粹的空间所间隔着，故谓之类空间隔。

具有类空间隔的两事件不可能具有直接或间隔的因果关系。（加以说明）它们的先后顺序是可以颠倒的。

3． 类光间隔

在任意惯性系中两事件P1，P2的间隔。说明两事之间是通过光或电磁波信号相互连接的。

两事件之间的关系是类光的。

例举80年与90年代的科幻小说及科幻电影。所谓时光倒流相矛盾于时光之箭（熵增方向）。

一、电磁波的能量

①能量密度：，

总能量密度：

②辐射强度（或能流密度）的概论：

单位时间、单位截面（垂直于传播方向）的辐射能。

设v为波速

将及

而S的传播方向为的方向。

故记S为而有：

（右手系）

：坡印延矢量。

③振荡电偶子发射功能：

平均辐射功率：

——拉莫尔公式。

二、电磁振荡

①RL电路，RC电路，RLC电路，LC电路。其中，LC电路——无阻尼自由振荡。

  令 

简谐振荡。

故=0不变。

非耗散系统。

②RLC电路，有阻尼的自由振荡。

称为阻尼系数。

有阻尼时（）频率将减少。振幅指数衰减。耗散系统

③受迫振荡

有外加驱动力（周期性）的情形：

稳定状态解：（）

  解加频率。

：感抗； ：容抗；

：电抗； ：阻抗。

当：

时，。

电流振幅最大，，且电流与电动势间无周期差（）。

这就是电共振。

称为共振频率（）

当且时，振幅。

三、赫兹实验——电磁波的发射与接收

验证麦克斯韦电磁波存在的预言。