狭义相对论质能方程的数学推导

本章涉及知识点

1、前言

2、质量的定义

3、能量的定义

4、经典力学—动能定理的数学推导

5、狭义相对论—质能方程的数学推导

6、质能方程的物理意义

7、质能方程从狭义相对论回到经典力学

8、案例解析

一、前言

继写完《狭义相对论的数学推导》和《狭义相对论的两个时空效应》两篇文章后，一直想把爱因斯坦留给后人在其狭义相对论里最著名的质能方程也做一个推导

在经典力学的世界观中，物体的能量和质量是两个完全不同的概念；而在狭义相对论的世界观中，爱因斯坦将能量的概念做了推广并得出了质量和能量准确的数学关系—质能方程

质能方程

二、质量的定义

考虑如下实验场景：

我们用同样大小的力F施加到两个不同的静止物体m1和m2上，目的是使得这两个物体达到相同的加速度a，花费的时间也就不同，显然，由于物体初始状态都是静止的，耗时较长的物体表明它具有较大的惯性；而耗时较少的物体表明它具有较小的惯性

由于在相同力的作用下，根据牛顿第二定律

牛顿第二定律

物体的加速度和它的质量成正比，因此可以得出：物体的质量可以度量物体的惯性，即

（1）质量用来描述物体惯性大小的物理量

（2）质量决定受力物体运动状态变化的难易程度

三、能量的定义

在物质的一切物理属性中，运动是其最基本的属性，世间万物均在不停运动（包括宏观世界里的人，或微观世界里的电子），例如星球的公转周期、火车的行使速度、雨滴的下落距离、风车的转动频率、电子的自旋特征等，这些所有物质的不同物理属性，都可以用运动来具体表示

物质因其运动而有了能量，即

（1）能量是物质运动所转换的量度

（2）能量是表征物理系统做功的本领

能量的形式包括：力学的动能、势能、重力势能、弹性势能、引力势能、化学能、热能、电能、核能等

四、经典力学—动能定理的数学推导

动能属于能量的一种，指物体因运动而所具有的能量

我们考虑其一般形式，一个物体在合外力F的作用下，从静止状态运动到速度达到v的这个运动过程中，其动能Ek的表达式写为：

动能的表达式

我们将合外力F和位移的微元dx均写为速度v的形式，且在经典力学中，物体的质量m是一个常量，即可推导出动能定理的数学表达式为：

动能定理

动能定理适用于恒力、变力、分段、全程做功等，可以用来定量的描述物体在运动过程中，合外力F因运动做功所带来的动能变化量，但是依旧没能描述出能量和质量的数学关系，这二者在经典力学里还是没有关联

五、狭义相对论—质能方程的数学推导

接下来我们从狭义相对论的世界观里，来寻找能量和质量的数学关系，仍然从动能的基本表达式出发

动能的表达式

这里我们将合外力F写为动量P对时间t的导数，即

动量对时间的导数

位移dx写为速度v的形式，即

位移的速度形式

将上面两个式子带入动能的表达式，得

动能的表达式

这里速度v和动量P都是变量，由分部积分法，得

动能的表达式

由狭义相对论知识，物体运动的质量m和其静止的质量m0之间的关系为

运动的质量m

结合动量P的定义为

动量P的定义

将P带入动能的表达式，得

动能的表达式

上述表达式里定积分的函数原型为

上述表达式里定积分的原型

带入求解定积分原型，得

动能的表达式

而上述表达式的第一项，就完整包含了狭义相对论中物体运动中的质量表达式，则上述方程写为

狭义相对论的动能

至此我们得到了在狭义相对论的世界观中，动能Ek的数学表达式

因为在狭义相对论世界观里，一切物理属性具有相对性效应，所以物体静止时也具有能量，我们称之为静能，其表达式E0为

狭义相对论的静能

我们设E来表示物体在运动总过程里所具有的的总能量，则E的表达式为其静能和动能之和，即

狭义相对论的总能量

至此，我们就得到了物体在运动过程中，总能量E和质量m的关系—质能方程

六、质能方程的物理意义

由上述推导出的质能方程表达式，我们可以看到

（1）在狭义相对论中，能量和质量有了确定的数学关系

（2）静止的物体，也具备其固有的能量（静能）

（3）质量可以转化为纯能量

其中第三点，我们可以计算出，每一千克的质量，就可以释放出9×10^16焦耳的能量，相当于2100万吨的TNT爆炸所释放出的能量

每一千克的质量释放出的能量

质能方程可以通过测量不同原子核的质量，估算出原子核所包含的结合能的能量值，即侧面有效的估算出了轻核的核聚变和重核的核裂变所释放的结合能，可见质能方程对原子弹的发展起到至关重要的作用！

七、质能方程从狭义相对论回到经典力学

接下来我们来证明，在经典力学的世界观里，从狭义相对论推导出的质能方程仍然适用

在经典力学里，有

经典力学条件

由于在经典力学里，质量是一个常量，与物体是否运动无关，则我们从质能方程的动能表达式里，没有化简出运动质量的表达式出发，即

质能方程的动能表达式

我们将上式改写为

质能方程的动能表达式

观察上式，存在一个幂次项

待泰勒展开的幂次项

由于幂次项很难计算，因此我们用多项式拟合函数的知识，构造这个幂次项的幂函数原型为

幂次项的数学原型

我们对f(x)进行在零点的泰勒展开，得

f(x)在零点的泰勒展开

可以看到f(x)属于递增函数，我们将a=-1/2, x=-v^2/c^2带入，得

幂次项的泰勒展开

我们取多项式的前两项来近似这个幂次项结果，即

幂次项的近似表示

将幂次项的近似值带入动能的表达式，得

经典力学中质能方程的动能

这正是经典力学中的动能表达式，至此，我们可以看出：

经典力学是相对论在低速情况下的近似表现

八、案例解析

最后我们来看一个案例

太阳内部持续不断地发生着四个质子（氢核）聚变一个α粒子，同时发射两个正电子和两个没有静止质量的中微子的核反应，这个核反应释放出的大量能量就是太阳的能源，已知：mp＝1.0073u，mα＝4.0015u，me＝0.00055u，求：

（1）太阳每一次聚变所释放的能量？

（2）已知太阳每秒释放能量为3.8×10^26J，则太阳每秒减少的质量为多少千克？

解(1)：

一个原子的单位质量为碳12原子质量的1/12，用u来表示，即

一个原子的单位质量u

则根据质能方程，1u释放的能量为

1u释放的能量

将其化为MeV为单位，即

1u释放的能量

则太阳每一次核反应的质量亏损为

太阳每一次核反应的质量亏损为

由质能方程计算出太阳每一次聚变所释放的能量为

太阳每一次聚变所释放的能量

解(2)：

由质能方程计算出太阳每一秒减少的质量为

太阳每一秒减少的质量