趣味数学故事84……倍立方问题

        倍立方是古希腊数学里尺规作图领域当中的著名问题，和三等分角、化圆为方问题被并列为古希腊尺规作图三大难题。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。倍立方问题的内容是：“能否用尺规作图的方法作出一立方体的棱长，使该立方体的体积等于一给定立方体的两倍？”倍立方问题的实质是能否通过尺规作图从单位长度出发作出的问题。

        三大难题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家皮埃尔·汪策尔(英语：Pierre Wantzel)首先利用伽罗瓦理论证明三等分角问题的答案是否定的。运用类似的方法，可以证明倍立方问题的答案同样是否定的。具体来说，给定单位长度后，所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而如果能够作出，那么就能作出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规作图作出给定立方体体积两倍的立方体是不可能的。

        如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，作出给定立方体体积两倍的立方体是可行的。