Calculus

罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 洛必达法则

2019-11-24  本文已影响0人  spraysss

罗尔定理(Rolle’s Theorem)

如果函数y = f(x)

  1. 在[a,b]区间上连续
  2. 在(a,b)区间上可导
  3. f(a)=f(b)

那么在(a,b)上至少存在一个c，使得f'(c)=0


拉格朗日中值定理(The Mean-Value Theorem)

如果函数f(x)满足：

  1. 在[a,b]区间上连续
  2. 在(a,b)区间上可导

那么在(a,b)上至少存在一个c，使得f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

拉格朗日中值定理的其他形式

\Delta y=f'(x+\theta \Delta x).\Delta x(有限增量定理)

柯西中值定理(Cauchy’s Generalized Mean-Value Theorem)

如果函数f(x)和g(x)满足

  1. 在闭区间[a,b]上连续
  2. 在区间(a,b)上可导，且g’(x)\neq 0

那么在(a,b)上至少存在一点c，使得
\frac {f'(c)}{g'(c)}=\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

洛必达法则

\frac 0 0型

函数f(x),g(x)在区间(a,a+\delta)内满足：

  1. \lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^+}f(g)=0
  2. f(x),g(x)在区间(a,a+\delta)内可导，且g'(x) \neq 0
  3. \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}存在(或\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\infty)

则\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}(或\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty)

以上结论对于x \to a^+, x\to a^- , x \to a , x \to +\infty ,x\to -\infty,x \to \infty

\frac \infty \infty型

函数f(x),g(x)在区间(a,a+\delta)内满足：

  1. \lim_{x \to a^+}f(x)=\infty; \lim_{x \to a^+}f(g)=\infty
  2. f(x),g(x)在区间(a,a+\delta)内可导，且g'(x) \neq 0
  3. \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}存在(或\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\infty)

则\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}(或\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty)

定理之间的关系

罗尔定理 \to拉格朗日中值定理 \to 柯西中值定理 \to 洛必达法则

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