中点弦

2019-12-14  本文已影响0人  洛玖言

期末复习

不等式

基本不等式

数列

空间向量

圆锥曲线

椭圆

双曲线

抛物线

常见问题

空间向量

练习

1

[2019年11月天一大联考] (错位相减)
已知等差数列 \{a_n\} 满足 a_{12}=16+a_4，且 a_3-1 是 a_2-1，a_4 的等比中项，数列 \{b_n\} 满足 b_n=2^{\frac{a_n-1}{2}}.
(1) 求数列 \{a_n\} 和 \{b_n\} 的通项公式.
(2) 设 c_n=\dfrac{a_n}{b_n}(n\in\mathbb{N}^*)，数列 \{c_n\} 的前 n 项和为 T_n，证明 T_n<5.

2

[2019台山市华侨中学高考模拟] (裂项相消)
已知数列 \{a_n\} 的前 n 项和为 S_n,\,a_1=2,\,S_n=n^2+n.
(1) 求数列 \{a_n\} 的通项公式.
(2) 设 \left\{\dfrac{1}{S_n}\right\} 的前 n 项和为 T_n，求证 T_n<1.

3

[2019安徽省定远中学高考模拟] (分组求和)
已知数列 \{a_n\} 满足 a_1=1,\,a_{n+1}=4a_n+3n-1,\,b_n=a_n+n.
(1) 证明：数列 \{b_n\} 为等比数列.
(2) 求数列 \{a_n\} 的前 n 项和.

4

[2019 广东高考模拟] (并项求和)
数列 \{a_n\} 中，a_1=1,\,a_{n}+a_{n+1}=pn+1，其中 p 为常数.
(1) 若 a_1,a_2,a_4 成等比数列，求 p 的值.
(2) 若 p=1，求数列 \{a_n\} 的前 n 项和 S_n.

5

[2019河南高考模拟]
已知 \triangle ABC 的内角 A,\;B,\;C 的对边分别为 a,b,c,\sqrt{3}(a\cos C-b)=a\sin C.
(1) 求角 A.
(2) 若 a=2\sqrt{7},\;b=4，求 c 及 \triangle ABC 的面积.

6

[2019广东高考模拟]
在 \triangle ABC 中，a,\,b,\,c 分别是内角 A、B、C 的对边，且 \sqrt{3}b\cos A=\sin A(a\cos C+c\cos A).
(1) 求角 A 的大小.
(2) 若 a=2\sqrt{3}，\triangle ABc 的面积为 \dfrac{5\sqrt{3}}{4}，求 \triangle ABC 的周长.

7

[2019辽宁高考模拟] (裂项相消)
数列 \{a_n\} 中，a_1=1,\,a_{n+1}=a_n+2n+1.
(1) 求出 \{a_n\} 的通项公式.
(2) 设 b_n=\dfrac{1}{4a_n-1} . 求出数列 \{b_n\} 的前 n 项和.

8

设斜率为 3 的动直线 l 与双曲线 \dfrac{x^2}{4}-y^2=1 相交于 A、B ，求弦 AB 的中点的轨迹方程.

Sol1:
设 A(x_1,y_1),\,B(x_2,y_2),\,AB 中点为 M(x,y)
\begin{cases} \dfrac{x_1^2}{4}-y_1^2=1\\ \dfrac{x_2^2}{4}-y_2^2=1 \end{cases}
两式相减
(x_1^2-x_2^2)-4(y_1^2-y_2^2)=0
\Rightarrow \dfrac{x_1+x_2}{4(y_1+y_2)}=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=3
又 M(x,y) 是 AB 的中点，所以
\begin{cases} 2x=x_1+x_2\\ 2y=y_1+y_2\\ \end{cases}
\therefore x=12y
联立 \begin{cases} x=12y\\ \dfrac{x^2}{4}-y^2=1 \end{cases}\Rightarrow x=\pm\dfrac{12\sqrt{35}}{35}
所以轨迹方程为 x-12y=0\,(|x|>\dfrac{12\sqrt{35}}{35})

Sol2:
设直线 l 为 y=3x+t

9

设 AB 为椭圆 x^2+\dfrac{y^2}{9}=1 的一条动弦，若弦 AB 的中点 M 在直线 x=\dfrac12 上，求直线 AB 的倾斜角的取值范围.

Sol:
设 A(x_1,y_1),\,B(x_2,y_2)
带入椭圆 \begin{cases} x_1^2+\dfrac{y_1^2}{9}=1\\ x_2^2+\dfrac{y_2^2}{9}=1 \end{cases}
两式相减 (x_1^2-x_2^2)+\dfrac19(y_1^2-y_2^2)=0
即 (x_1-x_2)(x_1+x_2)+\dfrac{1}{9}(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0
\Rightarrow 9+k(y_1+y_2)=0
\Rightarrow y_m=-\dfrac{9}{2k}
易知 y_m\in(-\dfrac{3\sqrt3}{2},\dfrac{3\sqrt3}{2})
解得 k<-\sqrt{3} 或 k>\sqrt{3}
得到 \alpha\in(\dfrac\pi3,\dfrac\pi2)\bigcup(\dfrac\pi2,\dfrac{2\pi}3)
当斜率不存在的时候，直线方程为 x=\dfrac12，易知此时也符合题意，此时 \alpha=\dfrac\pi2
综上所述 \alpha\in(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}).

10

设 AB 为椭圆 \dfrac{x^2}{3}+y^2=1 的一条动弦，M 为弦 AB 的中点，P(0,1) 为定点，若 PM\bot AB，求直线 AB 的斜率 k 的取值范围.

Sol:
设 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),M(x_0,y_0)
则 x_1+x_2=2x_0,\;y_1+y_2=2y_0 且 \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k
将 A,B 带入椭圆得
\begin{cases} \dfrac{x_1^2}{3}+y_1^2=1\\ \dfrac{x_2^2}{3}+y_2^2=1 \end{cases}
两式相减得
\dfrac13(x_1+x_2)(x_1-x_2)+(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0
\Rightarrow \dfrac13x_0+y_0\cdot k=0
k\in(-1,1)

11

过点 M(2,1) 作椭圆 \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1 的一条弦 AB，若点 M 是弦 AB 的中点，求直线 AB 的方程.

Sol1:
设点 A(x_1,y_1),\,B(x_2,y_2)
联立椭圆方程
\begin{cases} \dfrac{x_1^2}{16}+\dfrac{y_1^2}{4}=1\cdots①\\\\ \dfrac{x_2^2}{16}+\dfrac{y_2^2}{4}=1\cdots②\\ \end{cases}
①-② 得
\dfrac{x_1^2-x_2^2}{16}+\dfrac{y_1^2-y_2^2}{4}=0
即
k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\dfrac{4(x_1+x_2)}{16(y_1+y_2)}
因为 M 是 AB 的中点.
x_1+x_2=4
y_1+y_2=2
\therefore k=-\dfrac{1}{2}
\therefore AB 为 y-1=-\dfrac12(x-2)
\Rightarrow y=-\dfrac12x+2

Sol2:
设直线 AB 为 y-1=k(x-2)
联立方程得
\begin{cases} y-1=k(x-2)\\ \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1 \end{cases}

整理得 (4k^2+1)x^2-8(2k^2-k)x+4(2k^2-1)^2-16=0
x_1+x_2=\dfrac{8(2k^2-k)}{4k^2+1}
又 x_1+x_2=4
即 \dfrac{8(2k^2-k)}{4k^2+1}=4
解得 k=-\dfrac12
\therefore y=-\dfrac12x+2

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