孩子，和你聊聊初中数学

孩子，和你聊聊初中数学

再过两个月不到的时间，你就要迈入初中的大门了。站在这个大门前，不知道你是否会回顾来路，发出些许感慨呢？从六年级下学期开始，你的喉咙里发出的声音相较以往已经有了细微的变化，到了暑假，就变得更为明显了。个子也在进阶，现在你和妈妈走在一起，已经可以俯视她了。拥有这个视角，在今年过年的时候，你可能想都不敢想。但它就是那么神奇，该来的总归还是要来。也正是从今年开始，爸爸妈妈几乎终于试着放手让你自己在外面短距离行走，我们也从刚开始的忐忑慢慢地化归于平静。你平时早就在抱怨我们为什么不像别的同学的爸爸妈妈一样让自己的孩子自己上学、放学。现在，我们正在向着这个目标努力，因为我们家距离学校实在有点远，马路上的车又实在是那么的多，驾驶新手、心态急躁的司机的概率还是一个不容忽视的存在，安全问题不是一个一万而是万一的问题，这个万一从百分比的数字上看它可能是那么的轻，但是它压在我们的身上却是那么的重。除了变化的，还有没有变化的。你现在一有机会还是很喜欢拨弄你的玩具枪，和年龄相仿的小朋友玩枪战。你还是如饥似渴地喜欢玩“我的世界”，废寝忘食地去看一些关于我的世界的攻略视频和书籍，饶有兴致地和小朋友们探讨交流游戏心得，购买我的世界的玩具时还是显得那样的兴奋……，当然，所有的这一切当中最为重要的，也是爸爸妈妈到目前为止最为欣慰的是：你还是一如既往的开心快乐和健康！

说了那么多开场白，我也嫌自己有点啰嗦了。爸爸年轻的时候可不是这样啊！还有很多的话要讲，我们有的是时间，可以留到以后慢慢讲。这次主要还是想讲讲如何学习初中的数学。

初中数学是小学数学的延续和拓展，最大的区别就是引入了代数这个重要概念。小学数学我们以前的通俗叫法叫算术，我觉得这个叫法还是比较形象和贴切的。小学数学就是自实践现象中归纳得出，从具象中来到具象中去，计算一些比较具体的东西，而初中更多的是要逐渐地把你的思维从具象拓展到抽象中去，为高中的学习起到一个起承转合的重要转换作用。如果把小学数学看做是静态的，那么初中的代数就是动态的。它既可以代表一个数但又不是固定的一个数。在这个学习的过程中，你要试着去体会这个一体两面的韵味，逐渐地学会左右手互搏的技能，做到动和静把控自如。

合抱之木，生于毫末；九层之台，起于垒土。像所有事物发展演变的道理一样，解决初中数学问题的基本原理也是如此，得一步步来，而且每走一步你都要给出它合乎定义的依据和解释。而不能跳跃式前进，这种所谓的跳跃式前进到头来你会发现它其实是一种倒退，它不仅浪费了你的时间和精力，你还会发现它将阻碍你很多东西，得不偿失，影响长远，是一笔十分糟糕的大亏本买卖。这，绝不是危言耸听。因为，几乎所有的跳跃式计算的缘起、罪魁祸首是对概念理解的不够透彻，是死记硬背、不求甚解、懒于思考结下的恶果，直接导致在解决问题的实践中思维混乱、模棱两可。而这种思维一旦建立并且形成惯性，对人的一生都将造成几近难以挽回的影响，要改正它是极为困难的。现在你们学数学，很重要的一点，就是要让你们逐步掌握一套逻辑分析系统，形成一个比较理性的思维惯性，这个也是你以后打开工作、生活乃至人生思考这几扇大门的密匙之一。爸爸希望你不要反其道而行之。

比如，你现在开始学相反数这个数学概念。在学习它的同时，关键的一点是要理清它来龙去脉的逻辑脉络，不知来，焉知往？即知往，焉忘来？关于讲相反数之前的正负数概念你们在小学六年级下学期已经有过接触了，关于有理数的概念你也已经知晓。所以，在这基础上讲相反数，教材上是直接给出它的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。这个定义很简洁，典型的数学的语言。要讲一个事物，你得先给它定义，这个定义还要合乎现实，在一定范围内适用。这就是分析事物的“来”，这个“来”就是元初，就是起点，在以后的分析解决问题中不能因果颠倒，以始为终，以终为始，这个你现在可能还体会不到这个谬误。

光这个点还不够，我们还要用它来带动一个面，最主要的是为了下面的运算服务。在此定义之下，继续概括出关于相反数的几个重要的基本性质，这是第二步。掌握这些性质，可以进一步深入理解相反数的原始概念，可以加快下一步进行具体运算的效率，也为下一步的运算提供理论上的依据。重要的基本性质是：1、若a、b互为相反数，则两数相加得0；反之，若这两数相加为0，则互为相反数；2、求一个数的相反数只需在这个数前面加上一个负号即可；3、相反数的唯一性和对称性。第三步就是运用于有理数的运算之中。

说到有理数的运算，不妨再在这里插叙一下。有理数的运算先从加法运算讲起，这个讲解的顺序和小学相同，原因可能就是遵循先易后难的原则，尊重人的思维习惯吧。加法运算总是相对要容易理解一些。运算时切记一定要开始运用教材上的语言，也就是要运用符号、绝对值这些提法。这里开始起要摈弃小学时候学的加法的运算语言。比如对于7+3这个算式，你在开始时候不要一上来就直接说等于10，而是要“说教材上定义的运算语言”，也就是：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。如此这般，直到熟练为止。当然，这只是口诀，而至于为什么运算的结果是这样，答案当然是从现实现象当中得出的，并非凭空臆造。数学的一个本质就是解决实际问题，从现象中来到现象中去。对于加法的本质，爸爸给出一个可能不甚精确的理解是：它是行为累积的结果。重点在于累积两字。比如7+3，你可以在数轴上规定向右走是正方向，正7表示向右走7个单位，加3表示随后又向右走了3个单位，两个行为累积的结果就是向右（正号）总共走了10个单位。再比如7+-3，你如果规定收入是正方向，那么支出就是负方向，正7表示先收入了7个单位的货币，加-3表示随后又支出了3个单位的货币，两个行为累积的结果就是总共收入（异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号）4个（用较大绝对值减去较小绝对值）单位的货币。加法强调的是累积效应，运算的结果符合实际的现象。其次是减法运算，这个比加法稍难些。对于减法的本质也可以理解为两者的差异，重点在差这个字。因为减法运算的本意就是用来反映事物之间的差异的，是先有现象，然后才有描述这个现象的运算符号，这个不要弄颠倒。教材上讲解的方法和小学的减法讲解相类似，也是从两个方面导入，一个是实践中的现象，比如温差：7减去-3从温度表上一看即知两者相差为10。但是这里它没有解决符号的问题，不像加法的符号确定那么直观。所以又采取和小学减法类似的方法即从减法是加法的逆运算这个元初的性质导入。它的逻辑是：我们从加法运算中知道（隐含了一个顺序问题）-3+10=7，又因为加法是减法的逆运算，所以7-（-3）=10成立。同时我们又知道，7+3=10，所以又得出一个很重要的减法运算规律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。这个就把减法转换成为了易于操作的加法了。这里运用了数学上经常会用到的转换思想。把不易于直观理解的转化为易于直观理解的。直接的你不太好懂，那就用间接来试一下。然后，也请你记一下一个根据这个结论得出的推论，也很重要：加上一个数，等于减去这个数的相反数。最后，教材上又直接告诉你加法的运算律即交换律和结合律在有理数范围内也适用。这个不给证明看上去有点霸道，但确实也不好证明，爸爸也不会。不过小学阶段和初中阶段多的是这种东西，还有在定义一个概念时，往往采用的是描述性、用局部来推断整体的定义方法，即在定义时几乎都会先说：像什么什么的，我们把它定义成什么什么……；一般地......。我的一个理解是：事物元初的定义几乎都依靠从现象中观察得来，而现实世界又是无限的，以有限求无限，殆矣。不能形成充足的依据，可能只能采取归纳推理的逻辑吧？这个可以是个思考题，你可以在适当的时候自己去思考一下。

这些准备工作做完了以后，也就是逻辑体系打造完了以后，就可以运算了。比如，化简下式：a-(b-c)。仅运用上述定义和论断作为依据，你会怎么做？有不止一种方法，其中一种方法是：第一步看到减法想到转化为加法，怎么转化你在上面已经理解了它的来龙去脉，你就可以直接运用口诀了（记口诀不是因为要去死记硬背，而是在弄懂来龙去脉之后为了加快运算效率服务的）：减去一个数，等于加上它的相反数。好，这之前你还要搞懂如何求一个数的相反数，请问结合上面讲的关于相反数的概念和性质，那么b-c的相反数是多少？这里，可以利用一下相反数的唯一性和对称性质以及互为相反数的两数之和为零的性质。你就可以得出：因为b-c+c-b=0，所以b-c的相反数即为c-b。综上，第一步就可以转化为原式=a+(c-b)，然后对于括号内的再一次运用减法法则，就化为=a+[c+(-b)]，再运用加法的结合律=（a+c）+(-b)，最后，进行脱括号运算，即运用减法法则的推论：加上一个数等于减去这个数的相反数。式子就变为：a+c-b。运算完毕。这个开始看起来搞得好像过于复杂，但确实每走一步都有依据支撑，这个是关键。数学上面的这道关你必须得过好。以后熟练了可以加快速度，也可以提炼另外一些加快运算速度的性质，但每一步的逻辑仍然不可缺失，不能中断。棋谚有云：棋从断处生。断的地方就是失败的源头，不可不察。