数学梯度下降—Apple的学习笔记

一，   梯度下降算法摘要

步长就是a,也叫学习速率。偏导数就是梯度，下降最快的方向

合适的学习速率α应该是每一次迭代过后，代价函数J(θ)都应该减小，但是学习速率α如果太小的话又会使梯度下降收敛的特别慢。

学习速率的选择，可以尝试0.001、0.01、0.1、1。选择一个最大的学习速率，然后选择一个比它小一点点的学习率，通常能够找到最合适的学习速率来解决我们的问题。

二，理论说明

　　　　在微积分里面，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。比如函数f(x,y), 分别对x,y求偏导数，求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)T,简称grad f(x,y)或者▽f(x,y)。对于在点(x0,y0)的具体梯度向量就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T.或者▽f(x0,y0)，如果是3个参数的向量梯度，就是(∂f/∂x, ∂f/∂y，∂f/∂z)T,以此类推。

　　　　那么这个梯度向量求出来有什么意义呢？他的意义从几何意义上讲，就是函数变化增加最快的地方。具体来说，对于函数f(x,y),在点(x0,y0)，沿着梯度向量的方向就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的方向是f(x,y)增加最快的地方。或者说，沿着梯度向量的方向，更加容易找到函数的最大值。反过来说，沿着梯度向量相反的方向，也就是-(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的方向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最小值。

梯度下降法大家族（BGD，SGD，MBGD）

A.批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）

批量梯度下降法，是梯度下降法最常用的形式，具体做法也就是在更新参数时使用所有的样本来进行更新，这个方法对应于前面3.3.1的线性回归的梯度下降算法，也就是说3.3.1的梯度下降算法就是批量梯度下降法。

　　　　θi=θi−α∑j=0m(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)−yj)x(j)iθi=θi−α∑j=0m(hθ(x0(j),x1(j),...xn(j))−yj)xi(j)

　　　　由于我们有m个样本，这里求梯度的时候就用了所有m个样本的梯度数据。

B.随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）

随机梯度下降法，其实和批量梯度下降法原理类似，区别在与求梯度时没有用所有的m个样本的数据，而是仅仅选取一个样本j来求梯度。对应的更新公式是：

　 θi=θi−α(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)−yj)x(j)iθi=θi−α(hθ(x0(j),x1(j),...xn(j))−yj)xi(j)

随机梯度下降法，和4.1的批量梯度下降法是两个极端，一个采用所有数据来梯度下降，一个用一个样本来梯度下降。

训练速度很快, 不能很快的收敛到局部最优解。

C. 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）

小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的折衷，也就是对于m个样本，我们采用x个样子来迭代，1<x<m。一般可以取x=10，当然根据样本的数据，可以调整这个x的值。对应的更新公式是：

　　　　θi=θi−α∑j=tt+x−1(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)−yj)x(j)iθi=θi−α∑j=tt+x−1(hθ(x0(j),x1(j),...xn(j))−yj)xi(j)

三，python代码

TBD

步骤如下：

step0： 给定W ,b初始值，W0,b0W0,b0,

step1： 随机选取一个样本 (xn,yn)(xn,yn)，

step2： 将样本和Wt−1,bt−1Wt−1,bt−1代入 y^n=ft−1(xn)=Wt−1xn+bt−1y^n=ft−1(xn)=Wt−1xn+bt−1确定y^ny^n,

step3： 求得Wt=Wt−1+α(y^n−yn)xnWt=Wt−1+α(y^n−yn)xn,

step4： 求得bt=yn−Wtxnbt=yn−Wtxn,

循环迭代1-4步，使得MSEloss的值小于某个值退出循环。