周期数列

2022-01-13 本文已影响0人天目春辉

对一个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ,如果存在正整数 $T$ 及 $n_{0}$ ,使得对任意 $n\geqslant n_{0}$ ,都有 $a_{n}=a_{n+T}$ ,那么称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个周期数列.进一步,若 $n_{0}=1$ ,则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个纯周期数列.这里 $T$ 称为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的一个周期.

由周期数列的定义可知,如果 $T$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的一个周期,那么对任意 $m\in \mathbb{N}^{*}$ ,数 $mT$ 也是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的一个周期.利用这个性质结合数论中著名的Bezout定理可得下面的定理:

定理1

如果 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 都是周期数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的周期,那么 $\left(T_{1},T_{2}\right)$ (指 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 的最大公因数)也是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的一个周期.

由此定理可知,如果 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个周期数列,那么 $\left\{a_{n}\right\}$ 有最小正周期.这与周期函数不一定有最小正周期形成鲜明的对比.

对于一个整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 而言,它本身可能不是一个周期数列,但是对某些正整数 $m$ ,在模 $m$ 的意义下是一个周期数列,这就是模周期数列的概念.此时,存在 $T$ 、 $n_{0}\in \mathbb{N}^{*}$ ,使得对任意 $n\geqslant n_{0}$ ,都有 $a_{n+T}\equiv a_{n}\left(\bmod m\right)$ .

定理2

整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 如果是一个常系数递推数列,那么对任意 $m\in \mathbb{N}^{*}$ ,数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 都是模 $m$ 下的一个周期数列.

事实上,如果 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个常系数 $k$ 阶递推数列,考察下面的数组

$\left(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}\right),\left(a_{2},a_{3},\cdots ,a_{k+1}\right),\cdots\qquad(1)$

由于在模 $m$ 的意义下,数组 $\left(x_{1},\cdots,x_{k}\right)$ 中每个 $x_{i}$ 只取 $0,1,2,\cdots ,m-1$ ,故(1)中的数组在模 $m$ 的意义下至多只有 $m^k$ 种不同的情形.所以,存在 $r$ 、 $t\in \mathbb{N}^{*}\left(r<t\right)$ ,使得

$\left(a_{r},a_{r+1},\cdots,a_{r+k}\right)\equiv\left(a_{t},a_{t+1},\cdots,a_{t+k}\right)\left(\bmod m\right).$

记 $T=t-r$ ,结合 $\left\{a_{n}\right\}$ 为常系数 $k$ 阶递推数列,可知对任意 $n\geqslant r$ ,都有 $a_{n+T}=a_{n}\left(\bmod m\right)$ .

因此,定理2成立.

周期数列

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