时间反演（2）量子力学

2020-02-08 本文已影响0人低维量子系统

这次学习的目标，是为了学习拓扑量子方面的知识。所以先把核心公式存档，方便查阅。

线性算符

分配律： $\hat{L}(a|\psi\rangle+b|\varphi\rangle)=a\hat{L}|\psi\rangle+b\hat{L}|\varphi\rangle$

共轭： $\langle \psi |L^{\dagger}| \varphi\rangle = \langle \varphi |L| \psi\rangle ^*$
反线性算符

分配律： $\hat{A}(a|\psi\rangle+b|\varphi\rangle)=a^*\hat{A}|\psi\rangle+b^*\hat{A}|\varphi\rangle$

$\langle \psi |A\cdot| \varphi\rangle = [ \langle \psi |\cdot A| \varphi\rangle ] ^*$

共轭： $\langle \psi |\cdot A^{\dagger}| \varphi\rangle = \langle \varphi |A\cdot| \psi\rangle ^*$
厄米算符（Hermitian）

$\hat{F}^{\dagger}=\hat{F}$
幺正算符
- 线性算符
- $\hat{U}\hat{U}^{\dagger}=\hat{U}^{\dagger}\hat{U}=\hat{I}$
反幺正算符（antiunitary）
- 反线性算符
- $\hat{U}\hat{U}^{\dagger}=\hat{U}^{\dagger}\hat{U}=\hat{I}$
- 与“时间反演对称性”有关

微观世界中的运动方程是薛定谔方程

$i\hbar \frac{\partial \psi(\bf{x},t)}{\partial t}=\hat{H}\psi(\bf{x},t)$
- 例子1: 静电场中的运动电荷（质量m，电量q）。
  
  $i\hbar \frac{\partial \psi(\bf{x},t)}{\partial t}=[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+q\Psi(\bf{x})]\psi(\bf{x},t)$
  
  由经典模型中，时间反演不变，量子中这个结果必然仍成立。波函数的时间反演为 $\psi_r(\bf{x},t)=\psi^*(\bf{x},-t)$
时间演化算符 $\hat{T}$ 是反幺正算符
- 分配律： $\hat{T}(a|\psi\rangle+b|\varphi\rangle)=a^*\hat{T}|\psi\rangle+b^*\hat{T}|\varphi\rangle$
- $\langle \psi |T\cdot| \varphi\rangle = [ \langle \psi |\cdot T| \varphi\rangle ] ^*$
- 共轭： $\langle \psi |\cdot T^{\dagger}| \varphi\rangle = \langle \varphi |T\cdot| \psi\rangle ^*$
- $\hat{T}\hat{T}^{\dagger}=\hat{T}^{\dagger}\hat{T}=\hat{I}$
算符的时间反演变换
- $\hat{T}\hat{x}\hat{T}^{\dagger}=\hat{x}$
- $\hat{T}\hat{p}\hat{T}^{\dagger}=-\hat{p}$
- $\hat{T}\hat{L}\hat{T}^{\dagger}=-\hat{L}$
- $\hat{T}\hat{S}\hat{T}^{\dagger}=-\hat{S}$