近世代数理论基础14：同构定理

2019-02-20 本文已影响18人溺于恐

同构定理

同态的基本性质

设 $f:G\to \overline{G}$ 是同态映射, $\forall S\subseteq G$ ,令 $f(S)=\{f(a)|a\in S\}$ 为S在映射f下的像集,对 $\overline{S}\le\overline{G}$ ,令 $f^{-1}(\overline{S})=\{a\in G|f(a)\in \overline{S}\}$ 为集合 $\overline{S}$ 的原像

引理：设 $f:G\to \overline{G}$ 是满同态,则有

1. $H\le G\Rightarrow f(H)\le \overline{G}$

2. $\overline{H}\le\overline{G}\Rightarrow f^{-1}(\overline{H})\le G$

3. $N\lhd G\Rightarrow f(N)\lhd \overline{G}$

4. $\overline{N}\lhd \overline{G}\Rightarrow f^{-1}(\overline{N})\lhd G$

证明：

$1.\forall \overline{a},\overline{b}\in f(H)$

$设a,b分别为\overline{a},\overline{b}的一个原像$

$则f(b^{-1})=f(b)^{-1}=(\overline{b})^{-1}$

$\because H为G的子群$

$\therefore ab^{-1}\in H$

$\therefore \overline{a}(\overline{b})^{-1}=f(a)f(b)^{-1}=f(ab^{-1})\in f(H)$

$\therefore f(H)\le \overline{G}$

$2.设\overline{H}为\overline{G}的一个子群$

$\forall \overline{a},\overline{b}\in \overline{H}$

$令\overline{a}=f(a),\overline{b}=f(b)$

$由\overline{H}\le \overline{G}$

$f(ab^{-1})=\overline{a}(\overline{b})^{-1}\in \overline{H}$

$\therefore f^{-1}(\overline{H})为G的子群$

$3.\forall \overline{a}\in\overline{G}$

$\because f是满射$

$\therefore \exists a\in G使f(a)=\overline{a}$

$\forall \overline{n}\in f(N),\exists n\in N使f(n)=\overline{n}$

$\because N\lhd G$

$\therefore a^{-1}na\in N$

$\therefore (\overline{a})^{-1}\cdot \overline{n}\cdot\overline{a}=f(a^{-1}na)\in f(N)$

$\therefore \overline{N}\lhd \overline{G}$

$4.若\overline{N}为\overline{G}的正规子群$

$\forall a\in G,n\in f^{-1}(\overline{N})$

$令\overline{a}=f(a),\overline{n}=f(n)$

$\because f(a^{-1}na)=(\overline{a})^{-1}\overline{n}\overline{a}\in \overline{N}$

$\therefore a^{-1}na\in f^{-1}(\overline{N})$

$\therefore f^{-1}(\overline{N})是G的正规子群$

第一同构定理

定理：设 $f:G\to \overline{G}$ 是满同态,记 $K=Ker(f)$ ,定义两个集合 $S=\{H\le G|K\subset H\}$ , $\overline{S}=\{\overline{H}|\overline{H}\le \overline{G}\}$ ,则

1.存在一一映射(双射) $\overline{f}:S\to \overline{S}$

2.若 $N\in S$ 且 $N\lhd G$ ,则 $\overline{f}(N)\lhd \overline{G}$ ,且 $G/N\cong \overline{G}/\overline{f}(N)$

证明：

$1.\forall H\in S,\overline{f}(H)=f(H)=\{f(h)|h\in H\}$

$\therefore f(H)\le \overline{G}$

$\therefore \overline{f}(H)\in \overline{S}$

$\therefore \overline{f}是从S到\overline{S}的映射$

$\forall \overline{H}\le\overline{G}$

$令g(\overline{H})=f^{-1}(\overline{H})$

$要证g(\overline{H})\in S$

$只需证g(\overline{S})\le G且Ker(f)\subset g(\overline{H})$

$\therefore g(\overline{H})=f^{-1}(\overline{H})\le G$

$\forall a\in Ker(f)\subset f^{-1},有f(a)=\overline{e}\in\overline{H}$

$\therefore a\in f^{-1}(\overline{H})=g(\overline{H})$

$即Ker(f)\subset f^{-1}(\overline{H})=g(\overline{H})$

$\therefore g为从\overline{S}到S的映射$

$下证\overline{f}\circ g=I_{\overline{S}}$

$\forall \overline{H}\in\overline{S}$

$\because \overline{f}\circ g(\overline{H})=\overline{f}(g(\overline{H}))$

$=\overline{f}(f^{-1}(\overline{H}))=f(f^{-1}(\overline{H}))$

$又f是满同态$

$\therefore f(f^{-1}(\overline{H}))=\overline{H}$

$再证g\circ \overline{f}=I_S$

$\forall H\in S$

$要证g\circ \overline{f}(H)=H$

$\because (g\circ \overline{f})(H)=f^{-1}(\overline{f}(H))=f^{-1}(f(H))$

$\therefore H\subset f^{-1}(f(H))$

$\forall a\in f^{-1}(f(H)),有f(a)\in f(H)$

$即\exists h\in H,使f(a)=f(h)$

$\therefore f(ah^{-1})=\overline{e}$

$即ah^{-1}\in Ker(f)\subset H$

$令ah^{-1}=h_1$

$则a=h_1h\in H$

$即f^{-1}(f(H))\subset H$

$2.若N\in S且N\lhd G$

$则f(N)\lhd \overline{G}$

$即\overline{f}(N)\lhd \overline{G}$

$定义复合映射\varphi$

$\varphi:G\overset{f}{\to}\overline{G}\overset{\pi}{\to}\overline{G}/\overline{f}(N)$

$其中\pi:\overline{G}\to \overline{G}/\overline{f}(N)是自然同态$

$则\varphi为从G到\overline{G}/\overline{f}(N)的满同态$

$记同态\varphi的核为Ker(\varphi)$

$群\overline{G}/\overline{f}(N)中的单位元为\overline{f}(N)=f(N)$

$\therefore a\in Ker(\varphi)\Leftrightarrow \pi(f(a))=f(N)$

$\Leftrightarrow f(a)\in f(N)$

$\Leftrightarrow a\in f^{-1}(f(N))=N$

$即Ker(\varphi)=N$

$由同态基本定理$

$G/Ker(\varphi)=G/N\cong \overline{G}/\overline{f}(N)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：第一同构定理的常用形式：若取 $\overline{G}=G/K,N\lhd G$ ,且 $K\subseteq N$ ,则 $G/N\cong (G/K)/(N/K)$

第二同构定理

定理：设G是群,H,K是G的子群,且 $K\lhd G$ ,则

1. $HK=\{hk|h\in H,k\in K\}\le G$

2. $H\cap K\lhd H$

3. $K\lhd HK$

4. $H/(H\cap K)\cong HK/K$

证明：

$4.定义映射f:H\to HK/K,f(h)=hK$

$易证f是满同态$

$商群HK/K中的单位元为K$

$\therefore h\in Ker(f)\Leftrightarrow f(h)=hK=K$

$\Leftrightarrow h\in H\cap K$

$\therefore Ker(f)=H\cap K$

$由同态基本定理$

$定理成立\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：

1.设 $m\gt 1$ 为正整数,决定群 $(Z/mZ,+)$ 的所有子群

$显然同态f:Z\to Z/mZ,n\mapsto [n]是满同态$

$同态f的核Ker(f)=\{n\in Z|f(n)=[0]\}=mZ$

$确定集合S,即(Z,+)中所有包含Ker(f)的子群H$

$(Z,+)的子群H形如nZ,其中n为正整数$

$由mZ\subset nZ\Leftrightarrow m\in nZ\Leftrightarrow n|m$

$S=\{H\le Z|Ker(f)\subset H\}=\{dZ|d|m\}$

$确定集合\overline{S}=\{\overline{H}\le Z/mZ\}$

$设H\in S,则存在m的正因子d使H=dZ$

$故\overline{f}(H)=f(H)=\{[0],[d],,[2d],\cdots\}=dZ/mZ$

$由第一同构定理$

$|\overline{S}|=|S|$

$故群(Z/mZ.+)中子群的个数为m的正因子的个数$

$且对m的任一因子d,有Z/dZ\cong (Z/mZ)/(dZ/mZ)$

2.设 $S_n$ 为n次对称群,若G为 $S_n$ 的子群,证明G中所含置换或全是偶置换或奇偶置换各半

证：

$若G含奇置换$

$则GA_n=S_n$

$且G\cap A_n是G中全部偶置换集合$

$\because G\le S_n,A_n\lhd S_n$

$由第二同构定理$

$S_n/A_n=GA_n/A_n\cong G/(A_n\cap G)$

$\therefore |G/(A_n\cap G)|=|S_n/A_n|=2$

$\therefore |G|=2\cdot |A_n\cap G|$

$即G中偶置换和奇置换各占一半\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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