线性代数-读书笔记（2）

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矩阵消元

• 核心点：通过矩阵的行变换进行消元
• 例子

\left\{
    \begin{array}{lr}
        x+2y+z=0 \\
        3x+8y+z=12 \\
        4y+z=2
     \end{array}
\right.

使用矩阵运算，将方程写为 Ax = b 的矩阵形式：

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\3 &  8 & 1\\0 & 4 &1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 2\\12\\2 \end{bmatrix}

这里的矩阵消元，类似于解方程组时的消元，消元的对象是 3 × 3 的系数矩阵A， 左上角的1，称为主元(pivot)：

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\3 &  8 & 1\\0 & 4 &1 \end{bmatrix}

• 对矩A进行消元:
  • 第一步，row1 不变，row2 - 3×row1 可以得到下面的矩阵，消元系数为3：

  \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\0 &  2 & -2\\0 & 4 &1 \end{bmatrix}
  

    这里消元位置是(2, 1), 我们消去了(2, 1)位置的元素，称这一步为(2, 1) 变换
  

  • 第二步，对row3也进行类似的变换, 即(3, 1)变换，但是这里（3，1)位置的元素已经是0了，所以，消元系数为0
  • 第三步，进行(3, 2)变换，使用第二行第二列的主元2进行消元，row3 - 2×row2，消元系数为2，得到了如下矩阵：

  \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\0 &  2 & -2\\0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
  

我们称消元得到的矩阵为U，U是一个上三角矩阵，这里消元的目的是从A得到U

• 现在我们得到了三个主元：1， 2， 5
  • 注意的点：主元不能为0
  • 消元失败的情况：
    • 若第一行第一列为0，即主元为0，我们可以通过行交换来在下面的方程中找到合适的主元
    • 首先看它的下一行对应位置是不是 0，如果不是，就将这两行位置互换，将非零数视为主元。如果是，就再看下下行，以此类推
    • 若其下面每一行都没有非零数的话，那就意味着这个矩阵不可逆，消元法求出的解不唯一，消元法就失效了

增广矩阵

• 在之前的矩阵变换中，我们只是对系数矩阵A进行变换，把系数矩阵 A 和向量 b 拼接成一个矩阵，这个矩阵就是增广矩阵：

  \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\0 &  2 & -2 & 12 \\0 & 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} ->
  \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\0 &  2 & -2 & 6 \\0 & 4 & 1 & 2  \end{bmatrix} ->
  \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\0 &  2 & -2 & 6 \\0 & 0 & 5 & -10 \end{bmatrix}
  

• 将得到的矩阵带入方程Ax=b，可以的得到：

  \left\{
      \begin{array}{lr}
          x+2y+z=0 \\
          2y-2z=6 \\
          5z=-10
       \end{array}
  \right.
  

  从下往上求解，很容易就能得出x, y, z的值了

消元矩阵

行向量与矩阵的乘法

[图片上传失败...(image-c785f8-1550418453954)]

• 所谓 消元矩阵，就是将消元过程中的行变换转化为矩阵之间的乘法形式
• 消元过程第一步：row2 - 3×row1 即取-3个第一行，与第二行相加, 其余行不变

  \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\-3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\3 &  8 & 1\\0 & 4 &1 \end{bmatrix} ->
  \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\0 &  2 & -2\\0 & 4 &1 \end{bmatrix}
  

  这一步的消元矩阵为：

  \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\-3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}
  
  E_{21}
  

• 消元过程第二步：row3 - 2×row2 即取-2个第二行，与第三行相加

  \begin{bmatrix}  1 & 0 &0 \\-3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\0 &  2 & -2\\0 & 4 & 1 \end{bmatrix}->
  \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\0 &  2 & -2\\0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
  

  这一步的消元矩阵为：

  \begin{bmatrix}  1 & 0 &0 \\-3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}
  
  E_{32}
  

• 最后的结果

  E_{32}(E_{21}A)=U
  

  根据矩阵的结合律，上面的式子等价于

  (E_{32}E_{21})A=U
  

  把

  (E_{32}E_{21})
  

  记作E，那么E就是整个消元过程的消元矩阵

行变换和列变换

• 交换2*2矩阵中两行的矩阵：

  \begin{bmatrix} 0 & 1   \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} a & b \\ c & d  \end{bmatrix} = 
  \begin{bmatrix} c & d   \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix} 1 & 0   \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} a & b \\ c & d  \end{bmatrix} = 
  \begin{bmatrix} a & b  \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} a & b \\ c & d  \end{bmatrix} = 
  \begin{bmatrix} c & d \\ b & a  \end{bmatrix}
  

• 交换2*2矩阵中两列的矩阵：

  \begin{bmatrix} a & b \\ c & d  \end{bmatrix} 
  \begin{bmatrix} 0 \\ 1   \end{bmatrix}=
  \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} 
  \begin{bmatrix} 1 \\ 0  \end{bmatrix}=
  \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix} a & b \\ c & d  \end{bmatrix} 
  \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0  \end{bmatrix}=
  \begin{bmatrix} b & a \\ d & c  \end{bmatrix}
  

  左乘等同于行变换，右乘等同于列变换