差分模型理论概述

2018-12-10 本文已影响27人離塵真心

本文是纯粹的数学工具的综述与学习笔记，尽量用易懂的方式来讲述。读者需要的预备知识有：

一元多次方程、解、根的概念、代数基本定理
多项式求导数及其性质
一元二次方程的解法
复数的概念及复数的指数表示方法
数列的概念
线性代数的基本知识（基(base)、线性组合、线性无关/线性相关）

一、差分方程、齐次/非齐次线性差分方程、常系数线性差分方程的概念

差分方程：关于数列 $y_n$ 的形如 $F(y_n, \cdots , y_{n-k})=0$ 方程，如 $y_n+y_{n-1}-1=0$ 、 $y_n-y_{n-1}=3n^2+2n+1$ 。

阶：形如 $F(y_n, \cdots , y_{n-k})=0$ 的差分方程的阶为 $k$ 。

差分方程的解：若数列 $y^*_n$ 满足条件 $F(y^*_n, \cdots , y^*_{n-k})=0$ ，则称数列 $y^*_n$ 是差分方程 $F(y_n, \cdots , y_{n-k})=0$ 的一个解。

线性差分方程：关于数列 $y_n$ 的形如 $y_n+a_1(n)y_{n-1}+ \cdots +a_k(n)y_{n-k}=b_n$ 的方程，其中 $a_k(n)$ 表示一个关于整数 $n$ 的函数。

常系数线性差分方程：关于数列 $y_n$ 的形如 $y_n+a_1(n)y_{n-1}+ \cdots +a_k(n)y_{n-k}=b_n$ 的方程，其中 $a_k(n) \equiv a_k$ 表示一个与整数 $n$ 的无关的常数。

齐次线性差分方程：在 $y_n+a_1(n)y_{n-1}+ \cdots +a_k(n)y_{n-k}=b_n$ 中 $b_n \equiv 0$ 。

非齐次线性差分方程：在 $y_n+a_1(n)y_{n-1}+ \cdots +a_k(n)y_{n-k}=b_n$ 中 $b_n \neq 0$ 。

数列的线性相关与线性无关：对于 $s$ 个数列 $y^{(1)}_n, y^{(2)}_n, \cdots , y^{(s)}_n$ ，若存在实数 $c_1 \neq 0, \cdots ,c_s \neq 0$ ，成立 $c_1y^{(1)}_n+ \cdots +c_sy^{(s)}_n \equiv 0(\forall n)$ ，则称 $y^{(1)}_n, y^{(2)}_n, \cdots , y^{(s)}_n$ 线性相关，否则称为线性无关。

二、线性差分方程的解的特点

一些记号：

记 $L$ 为滞后算子，即 $Ly_n=y_{n-1}$ ， $L^ky_n=y_{n-k}$ ；

记 $\Delta$ 为差分算子，即 $\Delta y_n=y_n-y_{n-1}$ 。

对于线性差分方程 $y_n+a_1(n)y_{n-1}+ \cdots +a_k(n)y_{n-k}=b_n$ ，由于

$y_n+a_1(n)y_{n-1}+ \cdots +a_k(n)y_{n-k}$

$=y_n+a_1(n)Ly_{n}+ \cdots +a_k(n)L^ky_{n}$

$=[1+a_1(n)L+ \cdots +a_k(n)L^k]y_n$

记其中 $1+a_1(n)L+ \cdots +a_k(n)L^k=P_k(L)$ ，则可将线性差分方程 $y_n+a_1(n)y_{n-1}+ \cdots +a_k(n)y_{n-k}=b_n$ 简记为 $P_k(L)y_n=b_n$ ，并在下文中简称线性差分方程为“方程”。

1、齐次线性差分方程的解的特点

若 $y^{(1)}_n$ 、 $y^{(2)}_n$ 是方程 $P_k(L)y_n=0$ 的解，则对任意 $c_1,c_2 \in {\rm \pmb R}$ ， $c_1y^{(1)}_n+c_2y^{(2)}_n$ 也是方程 $P_k(L)y_n=0$ 的解。

简证：这一条性质可以由解的定义直接得到。
$k$ 阶齐次方程 $P_k(L)y_n=0$ 的线性无关的解有且只有 $k$ 个。

证明：显然，对于 $k$ 阶方程，若再限定定其解须满足条件 $y_1=m_1, \cdots, y_k=m_k$ ，其中 $m_1, \cdots , m_k$ 已知，则该方程有且只有一个解。
1. 先证明：方程 $P_k(L)y_n=0$ 的线性无关解至多有 $k$ 个。反设 $k$ 阶齐次方程 $P_k(L)y_n=0$ 的线性无关的解有 $k+1$ 个，分别为 $y^{(1)}_n, y^{(2)}_n, \cdots , y^{(k+1)}_n$ 。设方阵 $A$ 为
  
  $A= \begin{pmatrix} y^{1}_1 & \cdots & y^{k}_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ y^{1}_k & \cdots & y^{k}_k \end{pmatrix}$
  
  设向量 $b=(y^{(k+1)}_1, \cdots , y^{(k+1)}_k)$ 。由于 $y^{(1)}_n, y^{(2)}_n, \cdots , y^{(k)}_n$ 线性无关，因而矩阵 $A$ 的列构成的向量组线性无关，因而矩阵 $A$ 满秩。因此，对于关于 $c=(c_1, \cdots ,c_k)'$ 的方程组 $Ac=b$ 有唯一解 $c^*=(c^*_1, \cdots , c^*_k)=A^{-1}b$ 。设 $y^*_n=c^*_1y^{(1)}_n + \cdots + c^*_ky^{(k)}_n$ 。由于 $y^*_1=c^*_1y^{(1)}_1 + \cdots + c^*_ky^{(k)}_1=y^{(k+1)}_1$ ，…， $y^*_k=c^*_1y^{(1)}_k + \cdots + c^*_ky^{(k)}_k=y^{(k+1)}_k$ ，根据本证明一开始时的“显然”部分可知， $y^*_n=y^{(k+1)}_n$ ，从而有 $y^{(k+1)}_n=c^*_1y^{(1)}_n + \cdots + c^*_ky^{(k)}_n$ ，因而 $y^{(1)}_n, y^{(2)}_n, \cdots , y^{(k+1)}_n$ 线性相关，与题设矛盾。#
2. 再证明：先证明方程 $P_k(L)y_n=0$ 的线性无关解至少有 $k$ 个。反设 $P_k(L)y_n=0$ 的线性无关解只有 $l$ 个，分别为 $y^{(1)}_n, y^{(2)}_n, \cdots , y^{(l)}_n$ ，且 $l<k$ 。则存在向量 $y^*=(y^*_1, \cdots , y^*_k)'$ 不能由向量组 $(y^{(1)}_1, \cdots ,y^{(1)}_k)'$ ，…， $(y^{(l)}_1, \cdots ,y^{(l)}_k)'$ 线性表出。因此，前 $k$ 项分别为 $y^*_1, \cdots , y^*_k$ 的方程 $P_k(L)y_n=0$ 的唯一解 $y^*_n$ 与 $y^{(1)}_n, y^{(2)}_n, \cdots , y^{(l)}_n$ 线性无关，因而方程 $P_k(L)y_n=0$ 的线性无关解有 $l+1$ 个，与题设矛盾。#
综上所述， $k$ 阶齐次方程 $P_k(L)y_n=0$ 的线性无关的解有且只有 $k$ 个。#
方程 $P_k(L)y_n=0$ 的解构成 $k$ 维线性空间。（由第一条性质+实数运算的性质可得到解构成线性空间，由第二条性质可得该线性空间是 $k$ 维的）

2、非齐次线性差分方程的解的特点

设方程 $P_k(L)y_n=b_n$ 的一个解为 $y^*_n$ ，则方程 $P_k(L)y_n=b_n$ 的解的结构为 $y^*_n+c_1y^{(1)}_n + \cdots + c_ky^{(k)}_n$ ，其中 $y^{(1)}_n , \cdots , y^{(k)}$ 是齐次方程 $P_k(L)y_n=0$ 的 $k$ 个线性无关的解， $c_1, \cdots , c_k \in {\rm \pmb R}$

3、非齐次线性差分方程的特解的计算方法

我还不知道高阶的怎么求，只知道一阶的怎么求。。。囧o(╯□╰)o

对于一阶的非齐次线性差分方程 $y_n+a_ny_{n-1}=b_n$ ，已知其对应的齐次方程的一个解为 $x_n$ 。利用常数变易法，设非齐次方程的解为 $z_n=c_nx_n$ ，代入非齐次方程，得 $c_nx_n+a_nc_{n-1}x_{n-1}=b_n$ ，整理得 $c_n(x_n+a_nx_{n-1})+a_nx_{n-1} \Delta c_n=b_n$ ，其中由于 $x_n$ 是齐次方程的解，所以 $(x_n+a_nx_{n-1})=0$ ，从而得到 $a_nx_{n-1} \Delta c_n=b_n$ ，即 $\Delta c_n = \frac{b_n}{a_nx_{n-1}}$ ，累加得 $c_n-c_1=\sum_{i=2}^n{\Delta c_n}=\sum_{i=2}^n{ \frac{b_n}{a_nx_{n-1}} }$ ，其中 $c_1$ 待定。将 $z_2=c_2x_2$ 代入非齐次方程，化简得到 $a_2c_1x_1=0$ ，因此对于任何情况， $c_1=0$ 时， $z_2=c_2x_2$ 一定是非齐次方程的解，故取 $c_1=0$ 作为非齐次方程的特解，从而有 $c_n=\sum_{i=2}^n{ \frac{b_n}{a_nx_{n-1}} }$ 。因此 $z_n=x_n\sum_{i=2}^n{ \frac{b_n}{a_nx_{n-1}} }$ （ $n \geq 1$ 成立，z_1可通过将z_2代入方程中解出）是非齐次方程的一个特解。

三、线性常系数差分方程的解法

1、如何找到齐次线性常系数差分方程的k个线性无关解

设复指数 $\lambda^n$ 是方程 $P_k(L)y_n=0$ 的解，其中 $\lambda \in {\rm \pmb C}$ 且 $\lambda \neq 0$ 。代入方程 $P_k(L)y_n=0$ ，化简得：

$\lambda^k+a_1 \lambda^{k-1}+ \cdots +a_k=0$

以上方程称为该差分方程的特征方程。

根据代数基本定理，特征方程有 $k$ 个根，且若 $\lambda^*$ 为根，则其共轭 $\overline{\lambda^*}$ 也是特征方程的根。因而，特征方程的复根必有对应的共轭根。

若 $\lambda$ 为特征方程的单根，则属于该特征根及其共轭根（虚根才有）的差分方程的复数解为 $y^*_n=\lambda^n$ 。
- 若 $\lambda$ 为虚数，则其对应的实数解为 $r^n{\rm sin}(n \phi)$ 、 $r^n{\rm cos}(n\phi)$ ，其中 $\lambda =a+bi$ ， $r=\sqrt{a^2+b^2 }$ ， $\phi={\rm arccos}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 。
  证明提示：若复数为根，则复数的实部、虚部也为根。
- 若 $\lambda$ 为实数，则其对应的实数解为 $\lambda^n$ 。
若 $\lambda$ 为特征方程的 $m$ 重根，则属于该特征根及其共轭根（虚根才有）的差分方程的复数解为 $\lambda^n$ ， $n\lambda^n$ ，…， $n^{k-1}\lambda^n$ 。若为虚根，则其实数解为 $r^n{\rm sin}(\phi n)$ ， $nr^n{\rm sin}(\phi n)$ ，…， $n^{k-1}r^n{\rm sin}(\phi n)$ ； $r^n{\rm cos}(\phi n)$ ， $nr^n{\rm cos}(\phi n)$ ，…， $n^{k-1}r^n{\rm cos}(\phi n)$ 。

证明提示：将 $P_k(L)\lambda^n$ 对 $\lambda$ 求导再乘以 $\lambda$ ，重复该过程 $s$ 次（ $s < m$ ）得

$n^s \lambda^n+a_1(n-1)^s \lambda^{n-1}+ \cdots +a_k (n-k)^s \lambda^{n-k}$

由于 $\lambda$ 为特征方程的 $m$ 重根，因而有

$n^s \lambda^n+a_1(n-1)^s \lambda^{n-1}+ \cdots +a_k (n-k)^s \lambda^{n-k}=0$

所以 $n^s \lambda^n$ 是方程 $P_k(L)y_n=0$ 的解。

2、如何找到非齐次线性常系数差分方程的特解

我也不知道如何通解。。还得请教各位。只知道 $b_n$ 为关于 $n$ 的多项式时，可以用待定系数法。

3、实际应用中如何解出一个线性常系数差分方程的解

a、解析解

能否解出解析解的关键问题在于，能否求出特征方程的根的解析解。理论上，5次及以上方程无求根公式，四次方程、三次方程的求根公式比较复杂，因此实际应用中方便解出的求根公式的，只有2次和1次方程。

b、数值解

用计算机近似解出 $k$ 个特征根，据此得到通解为 $y^*_n=c_1x^{(1)}_n+ \cdots +c_kx^{(k)}_n$ ，然后利用已知的 $k$ 个初值 $y_1, \cdots , y_k$ ，得到方程组：

$\begin{pmatrix} x^{(1)}_1 & \cdots & x^{(k)}_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x^{(1)}_k & \cdots & x^{(k)}_k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_k \end{pmatrix}$

解得

$\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_k \end{pmatrix} = {\begin{pmatrix} x^{(1)}_1 & \cdots & x^{(k)}_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x^{(1)}_k & \cdots & x^{(k)}_k \end{pmatrix}}^{-1} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_k \end{pmatrix}$

然后就可以利用这个方程研究数列是否存在极限等各种性质。