数学分析理论基础13：连续函数的性质

2019-01-22 本文已影响52人溺于恐

连续函数的性质

连续函数的局部性质

局部有界性

定理：若函数f在点 $x_0$ 连续,则f在 $U(x_0)$ 上有界

局部保号性

定理：若函数f在点 $x_0$ 连续,且 $f(x_0)\gt 0(或\lt 0)$ ,则 $\forall 正数r\lt f(x_0)(或\lt -f(x_0))$ , $\exists U(x_0)$ 使得 $\forall x\in U(x_0)$ 有 $f(x)\gt r(或f(x)\lt -r)$

注：应用局部保号性时,常取 $r={1\over 2}f(x_0)$ ,则 $f(x_0)\gt 0$ 时 $\exists U(x_0)$ 使得 $\forall x\in U(x_0)$ 有 $f(x)\gt {1\over 2}f(x_0)$

四则运算

若函数f和g在点 $x_0$ 连续,则 $f\pm g$ , $f\cdot g$ , $f/g(g(x_0)\neq 0)$ 也都在点 $x_0$ 连续

注：对常量函数y=c和函数y=x反复四则运算可推出多项式函数 $P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ 和有理函数 $R(x)={P(x)\over Q(x)}$ 在其定义域的每一点都连续,同样,由sinx和cosx在R上的连续性,可推出tanx与cotx在其定义域的每一点都连续

复合函数

定理：若函数f在点 $x_0$ 连续,g在点 $u_0$ 连续, $u_0=f(x_0)$ ,则复合函数 $g\circ f$ 在点 $x_0$ 连续

证明：

$\because g在u_0连续$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta_1\gt 0使得$

$|u-u_0|\lt \delta_1时有|g(u)-g(u_0)|\lt \varepsilon$

$又u_0=f(x_0)且u=f(x)在点x_0连续$

$\therefore 对上述\delta_1\gt 0,\exists \delta\gt 0使得$

$|x-x_0|\lt \delta时有|u-u_0|=|f(x)-f(x_0)|\lt \delta_1$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0使得$

$|x-x_0|\lt \delta时有|g(f(x))-g(f(x_0))|\lt \varepsilon$

$\therefore g\circ f在点x_0连续\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注： $\lim\limits_{x\to x_0}g(f(x))=g(\lim\limits_{x\to x_0}f(x))=g(f(x_0))$

例： $y=x^n(n\in Z_+)$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格单调且连续,故 $x^{1\over n}$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续,又把 $y=x^{-{1\over n}}$ 看作由 $y=u^{1\over n},u={1\over x}$ 复合而成的函数,则又复合函数的连续性, $y=x^{-{1\over n}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续

注：若 $q\neq 0,q\in Z$ ,则 $x^{1\over q}$ 是其定义区间上的连续函数

例：证明：有理幂函数 $y=x^\alpha$ 在其定义区间上连续

证：

$设有理数\alpha={p\over q},p,q\neq 0,p,q\in Z$

$\because y=u^{1\over q}与u=x^p均在其定义区间上连续$

$\therefore 复合函数y=(x^p)^{1\over q}=x^\alpha在其定义区间上连续$

闭区间上连续函数的基本性质

最值

定义：设f为定义在数集D上的函数,若 $\exists x_0\in D$ 使得 $\forall x\in D$ 有 $f(x_0)\ge f(x)(f(x_0)\le f(x))$ ,则称f在D上有最大(最小)值,并称 $f(x_0)$ 为f在D上的最大(最小)值

注：函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值(即使f在D上有界)

有界性定理

引理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有界

证明：

$若不然,不妨假设f(x)在[a,b]上无上界$

$则\exists x_n\in [a,b]使得$

$f(x_n)\gt n,n=1,2,\cdots$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=+\infty$

$\because \{x_n\}\subset [a,b]为有界数列$

$\therefore 由致密性定理$

$\{x_n\}有收敛子列\{x_{n_k}\}$

$设\lim\limits_{n\to \infty}x_{n_k}=x_0$

$\because a\le x_{n_k}\le b$

$\therefore a\le x_0\le b$

$\therefore f(x)在点x_0连续$

$由归结原则$

$+\infty=\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\lim\limits_{k\to \infty}f(x_{n_k})=\lim\limits_{x\to x_0}f(x_0)=f(x_0),矛盾\qquad\mathcal{Q.E.D}$

最大、最小值定理

定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有最大值与最小值

证明：

$由有界性定理及确界原理,\exists \underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)=M$

$下证\exists \xi\in [a,b]使f(\xi)=M$

$若不然,\forall x\in [a,b]都有f(x)\lt M$

$令g(x)={1\over M-f(x)},x\in [a,b]$

$显然g(x)在[a,b]上连续,且g(x)\gt 0$

$\therefore g(x)在[a,b]上由上界,记为G$

$\therefore 0\lt g(x)={1\over M-f(x)}\le G,x\in [a,b]$

$\therefore f(x)\le M-{1\over G},x\in [a,b]$

$与\underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)=M矛盾$

$\therefore \exists\xi\in [a,b]使f(\xi)=M$

$即f在[a,b]上有最大值$

$同理可证f在[a,b]上有最小值\qquad\mathcal{Q.E.D}$

根的存在定理

定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号( $f(a)f(b)\lt 0$ ),则 $\exist x_0\in (a,b)$ 使得 $f(x_0)=0$ ,即方程 $f(x)=0$ 在(a,b)上有一个根

介值定理

定理：设函数f在闭区间[a,b]上连续,且 $f(a)\neq f(b)$ ,若 $\mu\in R$ 介于f(a)与f(b),则 $\exists x_0\in (a,b)$ 使得 $f(x_0)=\mu$

注：若f在[a,b]上连续,又不妨设 $f(a)\lt f(b)$ ,则f在[a,b]上必能取得区间[f(a),f(b)]上的一切值,即 $[f(a),f(b)]\subset f([a,b])$

证明：

$不妨设f(a)\lt \mu\lt f(b)$

$令g(x)=f(x)-\mu$

$则g也是[a,b]上的连续函数$

$且g(a)\lt 0,g(b)\gt 0$

$要证结论$

$只需证\exists x_0\in (a,b)使g(x_0)=0$

$设集合E=\{x|g(x)\lt 0,x\in [a,b]\}$

$显然,E\subset [a,b]且a\in E,E\neq \varnothing$

$\therefore 由确界原理$

$\exists x_0=supE$

$\because g(a)\lt 0,g(b)\gt 0$

$\therefore 由连续函数的局部保号性$

$\exists \delta\gt 0,x\in [a,a+\delta)时有g(x)\lt 0$

$x\in (b-\delta,b]时有g(x)\gt 0$

$显然x_0\neq a,x_0\neq b即x_0\in (a,b)$

$下证g(x_0)=0$

$若不然,即g(x_0)\neq 0$

$不妨设g(x_0)\lt 0$

$由局部保号性$

$\exists U(x_0;\eta)\subset [a,b],\forall x\in U(x_0;\eta)有g(x)\lt 0$

$显然x_0+{\eta\over 2}\in U(x_0;\eta)$

$g(x_0+{\eta\over 2})\lt 0\Rightarrow x_0+{\eta\over 2}\in E$

$与x_0=supE矛盾$

$\therefore g(x_0)=0\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：证明：若 $r\gt 0,n\in Z_+$ 则 $\exists !x_0\gt 0$ 使得 $x_0^n=r$

证：

$存在性$

$x\to +\infty时有x^n\to +\infty$

$\therefore \exists a\gt 0使a^n\gt r$

$\because f(x)在[0,a]上连续,且f(0)\lt r\lt f(a)$

$\therefore 由介值定理$

$\exists x_0\in (0,a)使f(x_0)=x_0^n=r$

$唯一性$

$设\exists x_1\gt 0使x_1^n=r,则$

$x_0^n-x_1^n=(x_0-x_1)(x_0^{n-1}+x_0^{n-2}x_1+\cdots+x_1^{n-1})=$

$\because x_0^{n-1}+x_0^{n-2}x_1+\cdots+x_1^{n-1}\gt 0$

$\therefore x_0-x_1=0$

$\therefore x_0=x_1$

例：设f在[a,b]上连续,满足 $f([a,b])\subset[a,b]$ ,证明： $\exists x_0\in [a,b]$ 使得 $f(x_0)=x_0$

证：

$\forall x\in [a,b]有a\le f(x)\le b$

$若a=f(a)或b=f(b)$

$则取x_0=a或b,结论成立$

$设a\lt f(a),b\gt f(b)$

$令F(x)=f(x)-x$

$则F(a)=f(a)-a\gt 0,F(b)=f(b)-b\lt 0$

$由根的存在性定理$

$\exists x_0\in (a,b)使f(x_0)=0$

$即f(x_0)=x_0$

连续函数性质：

若f在区间I上连续且不是常量函数,则值域f(I)也是一个区间,若I为闭区间[a,b],f在[a,b]上的最大值为M,最小值为m,则f([a,b])=[m,M],若f为[a,b]上的增(减)函数且不为常数,则 $f([a,b])=[f(a),f(b)](f(b),f(a))$

反函数的连续性

定理：若函数f在[a,b]上严格单调并连续,则反函数 $f^{-1}$ 在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续

证明：

$不妨设f在[a,b]上严格增$

$此时f的值域,即f^{-1}的定义域为[f(a),f(b)]$

$\forall y_0\in (f(a),f(b))$

$设x_0=f^{-1}(y_0)$

$\forall \varepsilon\gt 0,取x_1,x_2\in (a,b),x_1\lt x_0\lt x_2$

$且|x_1-x_0|\lt \varepsilon,|x_2-x_0|\lt \varepsilon$

$设f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2$

$由f的严格增性$

$y_1\lt y_0\lt y_2$

$令\delta=min\{y_2-y_0,y_0-y_1\}$

$则y\in U(y_0;\delta)时,对应的x=f^{-1}(y)\in (x_1,x_2)$

$\therefore |f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)|=|x-x_0|\lt \varepsilon$

$\therefore f^{-1}在点y_0连续$

$\therefore f^{-1}在(f(a),f(b))内连续$

$类似可证$

$f^{-1}在定义区间的端点f(a)与f(b)分别为右连续与左连续$

$\therefore f^{-1}在[f(a),f(b)]上连续\qquad\mathcal{Q.E.D}$

一致连续性

定义：设f为定义在区间I上的函数,若 $\forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta=\delta(\varepsilon)\gt 0$ 使 $\forall x',x''\in I,|x'-x''|\lt \delta$ 时有 $|f(x')-f(x'')|\lt \varepsilon$ ,则称f在区间I上一致连续

例：证明函数 $y={1\over x}$ 在(0,1)上不一致连续

证：

$要证y={1\over x}在(0,1)上不一致连续$

$只需证\exists \varepsilon_0\gt 0,\forall \delta\gt 0,\exists x',x''\in (0,1)$

$|x'-x''|\lt \delta时有|f(x')-f(x'')|\ge \varepsilon_0$

$取\varepsilon_0=1,不妨设\delta\lt {1\over 2}$

$取x'=\delta,x''={\delta\over 2}$

$|x'-x''|={\delta\over 2}\lt \delta$

$|{1\over x'}-{1\over x''}|={1\over \delta}\gt 1$

$\therefore y={1\over x}在(0,1)上不一致连续$

例：函数f定义在区间I上,证明f在I上一致连续的充要条件为 $\forall \{x'_n\},\{x''_n\}\subset I$ ,若 $\lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0$ ,则 $\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=0$

证：

$必要性$

$若f(x)在I上一致连续,则$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta(\varepsilon)\gt 0,\forall x',x''\in I$

$|x'-x''|\lt \delta时有|f(x')-f(x'')|\lt \varepsilon$

$设I上两个数列\{x'_n\},\{x''_n\}满足$

$\lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0$

$\therefore 对上述\delta\gt 0,\exists N\gt 0,\forall n\gt N$

$|x'_n-x''_n|\lt \delta$

$由一致连续性条件$

$|f(x'_n)-f(x''_n)|\lt \varepsilon$

$即\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=0$

$充分性$

$\forall \{x'_n\},\{x''_n\}\subset I$

$若\lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0则\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=0$

$下证f(x)在I上一致连续$

$若不然,即f(x)在I上不一致连续$

$则\exists \varepsilon_0\gt 0,\forall \delta\gt 0,\exists x',x''满足$

$|x'-x''|\lt \delta时有|f(x')-f(x'')|\ge \varepsilon_0$

$取\delta_1=1,\exists x'_1,x''_1\in I,|x'_1-x''_1|\lt 1,有|f(x'_1)-f(x''_1)|\ge \varepsilon_0$

$取\delta_2={1\over 2},\exists x'_2,x''_2\in I,|x'_2-x''_2|\lt {1\over 2},有|f(x'_2)-f(x''_2)|\ge \varepsilon_0$

$\cdots$

$取\delta_n={1\over n},\exists x'_n,x''_n\in I,|x'_n-x''_n|\lt {1\over n},有|f(x'_n)-f(x''_n)|\ge \varepsilon_0

$\cdots$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0$

$但\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))\neq 0,矛盾$

$\therefore f(x)在I上一致连续$

例：证明 $f(x)=sin{1\over x}$ 在区间(0,1)上不一致连续

证：

$取x_n={1\over 2n\pi},y_n={1\over 2n\pi+{\pi\over 2}},n=1,2,\cdots$

$\lim\limits_{n\to \infty}(x_n-y_n)=0$

$但|sin{1\over x_n}-sin{1\over y_n}|=1\nrightarrow 0$
$\therefore f(x)在(0,1)上不一致连续$

一致连续与连续

f在区间I上连续： $\forall \varepsilon\gt 0,\forall x\in I,\exists \delta=\delta(\varepsilon,x)\gt 0,\forall x'\in I,|x-x'|\lt \delta$ 时有 $|f(x)-f(x')|\lt \varepsilon$