我们很早就学过，圆的面积计算公式:

圆的面积计算公式

但是以前从没想过他是怎么推导来的，今天突发奇想，用微积分推导了一下，然后上网看了下高手们的推导，真的是各种方法无奇不有啊，于是就有了写这篇文章的冲动，总结下各种计算圆面积的方法。

不需要常数π的方法

计算圆的面积中有一个重要常数π，现在假设我们不知道π的值，该怎么计算圆的面积呢？

蒙特卡罗方法（或飞镖法）

不知道常数π的值，也就没法直接求出圆的周长和面积，很好想到的一个方法就是：将圆镶嵌在一个正方形中，然后求出圆占这个正方形面积的百分比：

你可以胡乱朝这个区域投掷飞镖，当飞镖数量足够大，并假设飞镖投到这个区域任意位置的概率是一样的，那么你最后就可以通过飞镖数量求出圆占整个正方形面积的比，设圆的半径为r，正方形面积为：

由知道了比值，自然就可以算出圆的面积

需要常数π的方法

常数π是个重要的常数，它表示圆的周长C和圆的直径d之比：

计算圆的面积，当然需要知道π的值。
知道了π的定义，最简单的办法就是滚粗法：

接着找准圆心，然后用尺子测出圆的直径：

这两的比值就是常数π了。当然为了更好的精确度，可以采用多次测量取平均值的方法。
其实上面讲到的蒙特卡洛方法也可以用来计算常数π，只需将圆的半径设为1就好。
还有一种经典的蒙特卡洛方法，叫做蒲风投针实验：
设针的长度是l，平行线之间的距离为t,x为针的中心和最近的平行线的距离,θ为针和线之间的锐角。

可以推导：
当然还有更多计算π的方法，像数列求极限等，感兴趣的请参考这里
好了，解决了常数π，下面回到正题，如何计算圆的面积？

剪纸法

剪纸法的思想就是化整为零，再重新拼接。

剪纸法
将一个圆剪成很多小的扇形，然后再将其拼成如上图的一个矩形，由于圆的周长是2πr,蓝色和黄色各占一半，所以拼成的长方形的长约为π*r,而长方形的宽约为圆的半径r，所以圆的面积等于长方形的面积：

变形法

其实这个方法和上个方法基本思想是一样的：圆的面积我们不知道，那能不能把圆转换成我们熟悉的形状呢？比如三角形：

三角形的面积公式我们知道，那与它等价的圆的面积自然也就能计算了：

对“洋葱”，以 t 为半径的无穷薄圆环，贡献的面积是 2πt dt，周长的长度乘以其无穷小宽度。这样对半径为 r 的圆给出了一个初等积分：
从笛卡尔到极坐标的区域变换
唯一要注意的是，直角坐标系下的面积微元为：dxdy，而极坐标下却是：tdtdθ,不懂可以参考这里
使用极坐标下的二重积分，积分函数为f(x)=1, 积分区域为圆C，则：

然后将dθ从0到2π积分，就可以计算出圆的面积：

半圆法

我们知道，圆的方程为：

由此可得，当y>0时，半圆的方程为：

对函数y从-r到r积分，由积分的定义知，积分的结果为二分之一圆的面积。
要计算：

总结

以上的一些方法，归根结底就两类思想：要么是转化的思想，将圆转化为熟悉的图形计算，要么是微积分的思想，把圆细分为微单元，然后再将这些微单元相加。一个简单的圆面积公式，都有这么多的解法，数学的魅力就在这里。

参考文献

wikipedia
圆的面积
calculus proof for the area of a circle
计算圆周率-Pi
布丰投针问题
圆周率