Julia中的浮点数类型

2018-08-27 本文已影响88人 Julia语言

欢迎关注Julia语言微信公众账号 julia_language

微信公众号：Julia语言
每周一三五更新，其他时间随机加餐；
问题或建议，请公众号留言;

Julia中的基本数值类型（浮点型）

浮点型.png

使用标准方式或科学计数法来表示文本化的浮点数：

julia> 1.0
1.0

julia> 1.
1.0

julia> 0.5
0.5

julia> .5
0.5

julia> -1.23
-1.23

julia> 1e10
1.0e10

julia> 2.5e-4
0.00025

上述结果均为 Float64 值。文本化的 Float32 值也可以直接输入，这时使用 f 来替代 e ：

julia> 0.5f0
0.5f0

julia> typeof(ans)
Float32

julia> 2.5f-4
0.00025f0

浮点数也可以很容易地转换为 Float32 ：

julia> Float32(-1.5)
-1.5f0

julia> typeof(ans)
Float32

十六进制浮点数的类型，只能为 Float64 ：

julia> 0x1p0
1.0

julia> 0x1.8p3
12.0

julia> 0x.4p-1
0.125

julia> typeof(ans)
Float64

Julia 也支持半精度浮点数( Float16 ) ，但只用来存储。计算时，它们被转换为 Float32 ：

julia> sizeof(Float16(4.))
2

julia> 2*Float16(4.)
Float16(8.0)

下划线_能被用作数字分隔符

julia> 10_000, 0.000_000_005, 0xdead_beef, 0b1011_0010
(10000, 5.0e-9, 0xdeadbeef, 0xb2)

浮点数类型的零

浮点数类型中存在两个零，正数的零和负数的零。它们相等，但有着不同的二进制表示，可以使用 bitstring 函数看出：

julia> 0.0 == -0.0
true

julia> bitstring(0.0)
"0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"

julia> bitstring(-0.0)
"1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"

特殊的浮点数

有三个特殊的标准浮点数：

三种特殊的标准浮点数.png

按照 IEEE 754 标准，这几个值可如下获得：

julia> 1/Inf
0.0

julia> 1/0
Inf

julia> -5/0
-Inf

julia> 0.000001/0
Inf

julia> 0/0
NaN

julia> 500 + Inf
Inf

julia> 500 - Inf
-Inf

julia> Inf + Inf
Inf

julia> Inf - Inf
NaN

julia> Inf * Inf
Inf

julia> Inf / Inf
NaN

julia> 0 * Inf
NaN

typemin 和 typemax 函数也适用于浮点数类型：

julia> (typemin(Float16),typemax(Float16))
(-Inf16, Inf16)

julia> (typemin(Float32),typemax(Float32))
(-Inf32, Inf32)

julia> (typemin(Float64),typemax(Float64))
(-Inf, Inf)

精度

大多数的实数并不能用浮点数精确表示，因此有必要知道两个相邻浮点数间的间距，也即计算机的精度。
Julia 提供了 eps 函数，可以用来检查 1.0 和下一个可表示的浮点数之间的间距：

julia> eps(Float32)
1.1920929f-7

julia> eps(Float64)
2.220446049250313e-16

julia> eps() # same as eps(Float64)
2.220446049250313e-16e

这两个值实际上分别是 2.0^-23(Float32) and 2.0^-52(Float64)。
eps 函数也可以取浮点数作为参数，给出这个值和下一个可表示的浮点数的绝对差，即， eps(x) 的结果与 x
同类型，且满足 x + eps(x) 是下一个比 x 稍大的、可表示的浮点数：

julia> eps(1.0)
2.220446049250313e-16

julia> eps(1000.)
1.1368683772161603e-13

julia> eps(1e-27)
1.793662034335766e-43

julia> eps(0.0)
5.0e-324

函数 nextfloat 和 prevfloat 可以用来获取下一个或上一个浮点数：

julia> x = 1.25f0
1.25f0

julia> nextfloat(x)
1.2500001f0

julia> prevfloat(x)
1.2499999f0

julia> bitstring(prevfloat(x))
"00111111100111111111111111111111"

julia> bitstring(x)
"00111111101000000000000000000000"

julia> bitstring(nextfloat(x))
"00111111101000000000000000000001"

相邻的两个浮点数之间的距离并不是固定的，数值越小，间距越小；数值越大, 间距越大。换句话说，浮点数在0 附近最稠密，随着数值越来越大，数值越来越稀疏，数值间的距离呈指数增长。根据定义， eps(1.0) 与 eps(Float64) 相同，因为 1.0 是 64 位浮点数。
此例显示了邻接的浮点数和它们的二进制整数的表示。

舍入模型

如果一个数没有精确的浮点数表示，那就需要舍入了。可以根据 IEEE 754 标准来更改舍入的模型。
默认舍入模型为 RoundNearest ，它舍入到最近的可表示的值，这个被舍入的值使用尽量少的有效数字。

背景与参考资料

浮点数的算术运算同人们的预期存在着许多差异，特别是对不了解底层实现的人。许多科学计算的书籍都会详细的解释这些差异。下面是一些参考资料：

关于浮点数算数运算最权威的指南是 IEEE 754-2008 标准；然而，该指南没有免费的网络版；
一个简短但是清晰地解释了浮点数是怎么表示的, 请参考 John D. Cook 的文章。它还简述了由于浮点数的
表示方法不同于理想的实数会带来怎样的问题；
推荐 Bruce Dawson 的关于浮点数的博客；
David Goldberg 的每个计算机科学家都需要了解的浮点数算术计算，是一篇非常精彩的文章，深入讨论了
浮点数和浮点数的精度问题；
更多资料可以参见“浮点数之父”——William Kahan的文章。

欢迎关注微信公众账号Julia语言.jpg