第26课对称阵及正定性

2019-11-05 本文已影响0人 rascalpotato

$A=A^T$

特征值为实数

特征向量相互垂直(即正交)

通常情况：

$A$ 可写成特征值矩阵和特征向量矩阵的表达形式
$A=S\Lambda S^{-1}$
对称情况：
$A=Q\Lambda Q^{-1}$
$Q$ 总是用来表示方阵

$Q^{-1}$ 是多少？

对于一个列向量标准正交的矩阵，它们的逆等同于它的转置
$\underbrace{A=Q\Lambda Q^{-1}=Q\Lambda Q^T}_{分解过程(矩阵分解成特征值和特征向量)}；当A为对称阵时的分解$

数学上叫以下这种为谱定理指矩阵的特征值集合
$(Q\Lambda Q^T)^T=Q\Lambda Q^T$

$A=Q\Lambda Q^T= \begin{bmatrix}\vdots&\vdots&\dots&\vdots\\q_1&q_2&\dots&q_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dots&q_1&\dots\\ \dots&q_2&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ \dots&q_n&\dots \end{bmatrix}= \lambda_1q_1q_1^T+\lambda_nq_nq_n^T$
单位向量乘以其转置，列向量乘以行向量等于投影矩阵。每一个对称矩阵都是一些互相垂直的投影矩阵的组合，对称阵的主元符号与特征值符号一致，个数相同，正主元个数等于正特征值个数，对称矩阵主元乘积等于特征值乘积是因为它们都等于行列式的值，如果没有交换，主元乘积就是行列式，特征值乘积等于行列式

__对称矩阵的正定性 __

所有的特征值为正数
所有的主元为正数
所有子行列式为正数

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