【数学归纳法】leetcode 除数博弈

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
用 N - x 替换黑板上的数字 N 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 False。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。
示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

提示：

1 <= N <= 1000

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/divisor-game

思路分析

思路分析：
假设A、B两个玩家，A先操作
若N=1，A必输，因为没法执行操作了
若N=2，A必赢，因为只要A选1，N变成1，B必输
若N=3，A必输，因为A只能选1，N变成2，B必赢
若N=4，A必赢，因为只要A选1，N变成3，B必输
.....

发现规律：N为奇数时，先手必败，N为偶数时，先手必胜

使用数学归纳法证明：
假设结论为：N为奇数时，先手必败，N为偶数时，先手必胜；
当N=1、N=2时，结论成立；
设N<=k时，结论成立，证明N=k+1时，结论依然成立：
若k+1为偶数，只要先手选1，N就变成奇数，根据假设，下一个操作人必败，即先手必胜；
若k+1为奇数，奇数的因子一定是奇数，因此先手操作后，N一定是偶数（奇数-奇数=偶数），根据假设，下一个操作人必胜，即先手必败；
综上，假设成立。

AC代码

public boolean divisorGame(int N) {
    return N % 2 == 0;
}