博弈论-三姬分金的利益分析

三姬分金，是一个关于博弈的思想实验的小故事

当年韩非子到一大将军处索要军饷，发现大将军的三个妃子在玩分金币的游戏，韩非子提议说，“这个游戏没意思，不如咱们玩点更刺激的”。

故而设置了一个分金币的游戏，总数100金币，由三个妃子抽签决定分配方案的先后顺序，如果方案有超过一半的人同意则按方案通过，反之则不通过，不通过的分配方案提出人要处死。

还有两个前提

1：每个人都是聪明人，知道自己所有决定的后果，并会为自己追求最大化的利益。

2：人性本恶，除了分得更多金币，每个妃子都希望处死其他妃子。

那么最终的结果会是怎么样呢？

抽签所分配的先后顺序我们用 A、B、C 来标注，如果是各位，可以想一下，你想抽到哪个。

思维实验开始！

如果抽到A，大家一定会一个激灵吧？ 我们分析一下，如果根据规则，妃子都希望杀死别的妃子，A的任何方案是不是都可能被B、和C否掉，那A的处境是不是很糟糕呢。

那我们先假设A被B、C投票处死，B的处境会是怎样呢？ 

B的处境将会非常凶险，也就是不管分配方案如何，即使她不要一个金币，所有金币都给C 。C都会投反对票从而处死两个妃子并且得到所有的金币。

也就是说投反对票处死A，那B也必死无疑。

我们现在可以重新反观局面，也就是B必然要保住A的性命，也就是不管A的分配方案如何，B必然会投同意票。A和B的合谋就是一个纳什均衡的局面，说合谋不太准确，因为B只是出于保护自己才必然同意A的方案。

A利益最大化的分配方案是（100，0，0），A同意，B同意，C可以忽略（这场分配中C不是关键加入者，属于不需要考虑的对象）

B和C能够合谋么？平分金币不是更好。

我们假定B、C合谋，投票处死A，之后我们就可以考虑C的博弈处境了，C反悔，B没有任何办法，对于B来说这个风险太大，不值得考虑。

这就是著名的 三姬分金 的故事。

从这个故事的博弈格局我们可以看出一些有价值的信息，也就是A因为抽签得到的先手权是打开了关键重要的局面，这个先手权就是权力的象征，而B、C则陷入了底层尴尬处境，因为可选项太有限，可见在这种有限次数的博弈中，先手权意味着锁定胜局。

而且只要条件规则稳定，所产生的结果是必然的，这样的局面就是纳什均衡。

如果说纳什均衡属于非合作参与者的关键指标，那合作者之间的动态博弈的关键指标是什么呢?  

这个指标我们称之为夏普里值（Shapley值）

考虑这样一个合作者之间的博弈局面：有一个三个合作者之间的财产分配问题：财产为100万元，这100万在三个人之间进行分配。A拥有50%的决定权，B拥有40%的决定权，C拥有10%的决定权。规定，当超过50%的同意时，才能获得整个财产，否则三人都将一无所获。

在这个合作者之间的财产分配问题，我们需要看在所有可能性中间的关键加入者是谁，关键加入者将左右分配的结果（也就是可以左右分配是否能够成立）。

在所有的排列次序中，A的夏普里值是4/6，也就是在所有的6次可能性中他将会成为关键加入者4次，而B和C的夏普里值是一样的都是1/6。

夏普里值决定了权力的大小，而不是手上的投票权重，除非有压倒性的优势，比如说投票权有大于或者等于50%。所以A就拥有这样的压倒性权力。

为了能够更好理解我们更改一下规则，比方说投票权改成A 49% B 41%  C 10%。

那么他们的夏普里值会发生什么变化呢？

局面将会是A、B、C夏普里值都变成2/6。从而财产的分配将会是三人平分。

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