《思考的乐趣》读书笔记
2019-08-21 《[思考的乐趣]》by 顾森
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- 内容：有趣，清晰易懂。
- 难度：前半部分比普通的数学科普书还要浅，后半部分略有难度但意义不大，不成体系。
- 没有给我的知识带来太大帮助，也没有激发更多的数学热情。
第一章 生活中的数学
1.1 概率论教你说谎：
在A事件发生时，若刻意营造一个很日常，却但难以与A同时发生的B事件。这样一旦B事件已经发生，人们对A同时发生的期望就下降了，达到掩盖目的。
上述内容即贝叶斯定理，公式为P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B)，其中P(A|B)与P(B|A), P(A)正相关，与P(B)负相关。
1.2 找东西背后的概率问题
1.3 设计调查问卷的艺术
对隐私问题，难以在问卷中得到正确结果。
若采访问题仅涉及是与否，可以设计一枚硬币让受访者投两次——若第一次是正面则填写实际结果，若是反面则以第二次的正反面结果作为填写内容（正面为是，反面为否）。
若最终收到m份问卷，则期望的有效\无效问卷各有m/2份。因此n份回答“是”的问卷中，有n-m/4份是真实有效的。
1.4 统计数据的陷阱
统计数据得到的结论不一定是有效的，可能存在其它干扰因素、因果倒置、随机性不足等：
- 健康工人效应-因果倒置：铀矿工人寿命与普通人一致（也许是工人身体更健康使得他们平均寿命本应更高）、打太极者不长寿（可能是打太极的群体身体平均较病弱）、消防员越多火灾持续时间越长（是因为火灾大的时候消防员才比较多）
- 冰淇凌与鲨鱼食人：是因为夏天到了，二者同步上升，本身两件事无因果关联；
- 吸烟与癌症-怀疑：不一定是吸烟导致癌症，也可能是癌症者更容易染上烟瘾，或成瘾性与癌症是基因相关的。
- Simpson悖论：各个局部表现更好，但总体表现较差（样本随机性不足）
关注统计结论时，需要慎重考虑
1.5 为什么人们往往不愿意承担风险
有两个选择：必定拿1000，或各半几率的拿到500与1500，二者的期望值是一样的，但人们往往愿意选择1000。
边际效用：指收益增多时，人们得到的幸福感递增。因此对于风险规避者，更愿意选择同期望时风险更小的那一项（幸福感更高）。
如果选择一高于x元，就愿意选择选项一，说明其愿意花费1000-x元来避免风险。
1.6 消费者承担的消费税真的吃亏了吗？
无论是消费者还是生产者承担税，最终都会体现在双方的定价上。生产者承担税时物价会对应提高，消费者承担税时物价会对应降低。哪一边承担得多，由这两条线的斜率决定。
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不同的曲线，会产生不同的结果。可以思考，如果对消费者征奢侈品税，会产生什么效果？（需求量骤降，价格骤降，生产方承担大部分后果）
1.7 价格里的阴谋
- 完全竞争市场：产品差异小，卖方无法定价，如米、菜；
- 不完全竞争市场：垄断或有特征产品，卖方可定价，如铁路、衣服；
价格歧视对不同买家出不同价格：
- 一级价格歧视：量身定价，如地摊讲价；
- 二级价格歧视：不同套餐有不同定价方式，对有更高需求或更少需求的人进行价格歧视；为了有区分度，加贵了高需求的价格，降低了低需求的服务，在达到最大利益均衡；
- 二级价格歧视举例：降低四等舱的服务质量、降低普通快递的速度故意囤在仓库中、IBM故意新增部件来降低打印机的打印速度、超市出售人为破坏的次品；
- 三级价格歧视：直接提供相同服务下，不同的价格。在保证榨取高端用户的同时，保证了低端用户不流失；如火车学生票、同一商品在不同城市有不同定价、高速公路不同车型有不同收费标准；
- 隐蔽的三级价格歧视：用打折券而不直接打折以保留低端消费；价格从高到低功能故意给出超出普通价格高，以榨取高端消费；游乐园两部分定价；
其它
- 捆绑销售：各个用户对不同细分项喜好不同，捆绑销售可以帮助提高收益；
- 在wiki链接pricing strategies中提到了几十种定价策略
1.8 公用品的悲剧
1.9 密码学与协议
本章主要是一些加密协议和场景，看着玩还行。
- (m,n)门保证n人中只有m人在场才能解开密码，可把密码拆成C(n,m-1)份，每人持有C(n-1, m-1)份
- 把密码编成m维的点，n个人各持有一个m-1维的面，交于这个m维点。因此，只有至少m个人凑在一起才能算出交点
- 更简化版，将m项未知数的m项式的n个解分发给n个人，至少m人在场才能解开密码。
- 匿名者广播消息：假定消息是一个0或1，k个人坐一圈，每人给下一个人展示硬件（正或反面），大家都报出左右手的硬币是相同面或不同面。匿名者要播报是0则按规则报出相同\不同，若是1则按相反的结果报出。最终报出”不同“的次数余2，得到的值就是匿名者想要传递的值。
- 单向加密：在已知加密方式、密文的前提下，无法得知明文（但是可用来验证明文），如如md5, sha，缺陷是可能会导致多个明文指向同一个密文。
1.10 公平分割问题
n个人分蛋糕，如何做到公平分割？第一种公平是均衡分割，即每个人都认为自己得到的量不少于1/n：
- 你来分我来选，第i轮有蛋糕者把蛋糕切成i+1份给i+1号成员挑选。即第一个人切成2份让第二人来挑一块，二人再将蛋糕均分3份让第三人来自己这儿挑走一份……最终第n个人从所有人切割的n份中各挑一块。缺点是蛋糕被切得很碎。
- 最后削减人法：当前有n个没蛋糕的人坐成一排，则由第一个人切出1/n的一份蛋糕，按座位传递，经过每个人时若认为这个蛋糕多于1/n可以进行剪裁，大家都审核完蛋糕会分给最后一个剪裁蛋糕的人。
但每个人大于1/n，并不能解决”嫉妒“他人比自己得到的更多的问题，因此引出了免嫉妒分割，依然可以用Selfridge-Conway方法解决三人分割时的问题。
1.11 中文自动分词算法
第二部分 数学之美
本部分内容很少，介绍了一些数字巧合、猜想、重要常数，三角形垂心的一些定理和推论，以及小故事。总得来说对数学兴趣提升不大（个人感觉）
第三部分 几何的大厦
3.19 尺规作图问题
欧几里得的《几何原本》里都有这些概念，不如《古今数学思想》里对欧几里得的介绍清晰。
3.20 单规作图的力量
使用单个圆规一样能模拟出尺规作图的全部，同上可参见《古今数学思想》
3.21 锈规作图也疯狂
如果圆规生锈了，其长度为定长1，能够做到什么？
从给定的两点出发，能做到一切尺规以此两点作图的能力。
3.22 火柴棒搭成的几何世界
如果只有单位长的火柴棒（可理解为有无限个长度为1的直尺），并且可以用火柴对AB线段为底搭出腰长为1的等腰三角形（某种意义上单位为1的圆规），就可以用火柴棒做到与尺规作图同等的效果。
个人感觉不足为奇，这个功能已经足够强了。
3.23 折纸的学问
折纸可以达到一些尺规无法做到的功能。1991年藤田文章给出折纸的定义六条：
- 已知AB两点能折出连线（连线）
- 已知AB两点，能把A点折到B点上（中垂线）
- 已知ab两条线，可以把a线折到b线上（可理解为挪线或夹角平分线）
- 已知点A与线b，可以作过A点的折痕将线b折到自己身上（垂线）
- 已知点AB与线a，可通过过点B的折痕将点A折到线a上（点AB半径作圆与线a的交点）
- 已知点AB与线ab，可通过折痕将点A,B分别折到线a,b上（无法形容，应该是三次方程）
由于操作6本质上使得折纸可以解决三次方程，因此折纸可以完成三等分角、倍立方体等尺规无法完成的难题。
在2001年羽鸟公士郎发现了其遗漏，并给出了第七条公理，由于变量数量的原因这七条已使得折纸的操作圆满了，实现了一套完整的公理系统：
- 已知点A与线a,b，可以将A折到a上，同时把b折到自身上
3.24 万能的连杆系统
能够构造出特定的曲线，体系仍待构建中。不是很理解，以后再了解
3.25 探索图像拼接
- 两个正方形可以通过剪成五片，拼成一块大正方形。
- 同理可推广至：n个正方形可通过裁剪拼成一个大正方体。
- A图形能拼为B，B能拼为C，则A能拼为C。
- 如果A能拼为B，B也能拼为A。
有了以上基础，可以继续尝试：
- 任意矩形可拼为正方形
- 任意平行四边形可拼为正方形
- 任意三角形可拼为平行四边形
- 任意多边形都能剪为多个三角形，因此得到正方形
- 任意多边形->正方形->同等面积的其它多边形
第四部分 精妙的证明
一些漂亮的证明
第五部分 思维的尺度
一些脑洞，包括
- 不同级别的无穷大，与可定义数
- 无以言表的大数：古德斯坦数
- 超级幂、古德斯坦记号G、高德纳箭头记号、阿克曼函数
- 四维世界
