ARCH模型拟合案例

ARCH模型的构建已经在这里有所叙述,这次使用一个案例回顾过程.

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1. 问题描述:

• 1750-1849年瑞典人口出生率数据给出;

9  12 8 12 10 10 8 2 0 7 10 9
4 1 7 5 8 9 5 5 6 4 -9 -27 12
10 10 8 8 9 14 7 4 1 1 2 6 7
7 -2 -1 7 12 10 10 4 9 10 9
5 4 3 7 7 6 8 3 4 -5 -14 1
6 3 2 6 1 13 10 10 6 9 10
13 16 14 16 12 8 7 6 9 4
7 12 8 14 11 5 5 5 10 11
11 9 12 13 8 6 10 13

• 要求:
  (1):选择适合的模型拟合序列发展;
  (2):检验序列的异方差性,存在请拟合相应的条件异方差模型;

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2.解题

• 导入数据

data birth;
input br@@;
lagbr=lag(br);
difbr=dif(br);
year=intnx('year','01jan1750'd, _n_-1);
format year monyy7.;
cards;
9 12 8 12 10 10 8 2 0 7 10 9
4 1 7 5 8 9 5 5 6 4 -9 -27 12
10 10 8 8 9 14 7 4 1 1 2 6 7
7 -2 -1 7 12 10 10 4 9 10 9
5 4 3 7 7 6 8 3 4 -5 -14 1
6 3 2 6 1 13 10 10 6 9 10
13 16 14 16 12 8 7 6 9 4
7 12 8 14 11 5 5 5 10 11
11 9 12 13 8 6 10 13 
;

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1. 对原序列的基本分析,绘制时序图

proc gplot data=birth;
plot br*t lagbr*t difbr*t;
symbol i=join v=star c=red;
run;

• 原序列时序图 (滞后一阶时序图与原序列无差)
  br*t
• 一阶差分时序图 (出现了比较明显的异方差现象;集群效应)
  difbr*t

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2. arima绘制相关图 (对原序列和一阶差分)

proc arima data=birth;
identify var=br;
identify var=br(1);
run;

原序列自相关 (自相关图表现出短期相关性,偏自相关图类似,因此一阶差分后序列具有更好的平稳性质)

br自相关图

3. 对原序列提取确定性信息,画出残差序列的五阶自相关图,并对提取后残差序列进行dw检验(判断残差序列是否仍具有相关性)

自变量为t的幂函数提取

proc autoreg data=birth;
model br=t/ nlag=5 dwprob archtest;
run;

关于t的幂函数提取

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自变量为滞后值提取 (可以基本对残差序列定阶为p=1)

proc autoreg data=birth;
model br=lagbr/ lagdep=lagbr nlag=5 dwprob archtest;
run;

滞后因变量提取

• 五阶自相关图表明参数序列自具有短期相关性,可以只建立ARCH模型

残差五阶自相关图

• 参数检验通过

参数检验

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4.定阶拟合(上述,残差序列模型确定为ARCH(1))

code:

proc autoreg data=birth;
model br=lagbr/ lagdep=lagbr garch=(p=1);
output out=out p=p lcl=lcl ucl=ucl cev=cev residual=residual;
run;

参数检验

results

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5. 图形绘制

数据处理

data out;
set out;
lcl_residul=-1.96*sqrt(27.47293);
Ucl_residul=1.96*sqrt(27.47293);
Lcl_GARCH=-1.96*sqrt(cev);
Ucl_GARCH=1.96*sqrt(cev);
Lcl_P=P-1.96*sqrt(cev);
Ucl_P=P+1.96*sqrt(cev);
run;

绘图

proc gplot data=out;
plot a*t=2  lcl*t=3 ucl*t=3 Lcl_P*t=4 Ucl_P*t=4/overlay;
plot residual*t=2 lcl_residul*t=3 Ucl_residul*t=3 Lcl_GARCH*t=4  Ucl_GARCH*t=4/overlay;
symbol2 c=green i=needle v=none;
symbol3 c=black i=join v=none;
symbol4 c=red i=join v=none ;
run;

拟合图