零基础期权入门教程（20）gamma 的数值分布

gamma 是 delta 关于股票价格 S 的偏导数。相同到期日相同行权价的 call 和 put 的 delta 之间有一种对偶关系，因此我们推测，相应的 call 和 put 的 gamma 应该也有某种关系。

我们从期权合成公式

出发，两边对 S 求二阶偏导数：

左边第一项是 call 的 gamma，第二项是 put 的 gamma。上面的等式告诉我们，相同到期日相同行权价的 call 和 put 的 gamma 相等。在以下的讨论中，我们就不需要指明是 call 还是 put。

现在我们来比较一下相同到期日、不同行权价的合约的 gamma。相同到期日的平值合约和实值合约，哪个的 gamma 更大呢？我们知道 gamma 反映的是以小搏大的非线性，通俗地说，盈亏比。平值合约没有内在价值。实值合约含有一部分内在价值，价格比平值合约高。当股票价格向不利的方向移动的时候，实值合约的亏损相对来说也高一些。考虑极端深度实值合约，它几乎没有时间价值，性质和股票差不多，可以认为近似是线性的。因此实值合约的 gamma 要比平值合约的小。应用 put-call parity，我们就得出 gamma 的纵向分布规律：在相同到期日的合约当中，平值合约的 gamma 最大；随着行权价的逐步增大或逐步减小，gamma 逐渐减小；极端深度实值和极端深度虚值合约的 gamma 近似为0。

我们再来看一下 gamma 的横向分布。先看平值合约。平值合约只有时间价值。远月合约的时间价值比近月合约的高，潜在亏损相对也高。所以远月合约的 gamma 比近月合约的小。对于深度实值合约，由于近月合约的时间价值比较小，它比远月合约更接近于线性的股票，因此 gamma 比远月合约的小。最后小结一下：对于平值合约，近月合约的 gamma 更大；对于深度实值或深度虚值的合约，远月合约的 gamma 更大；对于不是那么深度的实值或虚值合约，gamma 的分布规律介于前面两者之间。

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