切比雪夫不等式

2018-09-02 本文已影响37人默写年华Antifragile

$P(|X−EX|≥ϵ)≤DX/ϵ^2$
等价的是：
$P(|X−EX|<ϵ)≥1−DX/ϵ^2$
证明：
设连续型变量X的密度函数是f(x),事件|X−EX|≥ϵ表示X落在区间(EX−ϵ,EX+ϵ)外部。所以（将上下限扩展到正负无穷会比原来大）：

切比雪夫不等式

反之，
$P(|X−EX|<ϵ)≥1−DX/ϵ2$

应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。

设X₁，X₂，…，X_n，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(X_i)和方差D(X_i)都存在(i=1，2，…)，且D(X_i) < K (i=l，2，…)，则对任意给定的ε>0，有