C-COT

Hilbert空间是作为完备函数系用来展开其他函数的。一开是理解积分的时候，是把一个函数的定义域等间隔分成一些区间，（从图像上看比较清楚）然后算出每个小区间的面积，然后累加起来。这个累加可以写成向量(矩阵)的形式。然后如果我们要算两个这样的向量的内积，就简单的用向量内积的定义就可以了。
可是问题在于，这是两个函数啊，怎么能有内积呢？实际上这个内积就是这两个被积函数乘积的积分的近似(只需要上面积分的定义域分割区间越来越小，也就是分割的区间个数越来越多，对应的就是向量的维度越来越大)。这样我们就根据向量内积定义来函数的内积。
黎曼积分是相当于把山分为每块都是一平方米大的方块，测量每个方块正中的山的高度。每个方块的体积约为1x1x高度，因此山的总体积为所有高度的和。

勒贝格积分则是为山画一张[等高线]，每根等高线之间的高度差为一米。每根等高线内含有的岩石土壤的体积约等于该等高线圈起来的面积乘以其厚度。因此总体积等于所有等高线内面积的和。

佛兰德（Folland）总结说，黎曼积分是把分割定义域[a,b]为较小子区间，而勒贝格积分则是分割 f的值域，或者以
这例子来讲，黎曼积分是分割 x-轴上的定义域[a,b]，而勒贝格积分是分割 y-轴上的值域。

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