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空间解析几何题

2021-01-22  本文已影响0人  Raow1
2017-1-6. 求曲面\Gamma = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : z=\sqrt{2+x^2+y^2} \}，和平面\Pi = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x-y-2z=2 \}的距离。

由题，设曲面\Gamma上距平面\Pi最近的点为M(x,y,z)。
所以，曲面在此处的法向量为\overrightarrow{n}=(\frac{x}{\sqrt{2+x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{2+x^2+y^2}},-1)。
又显然有，平面的法向量为(1,-1,-2)。
所以M(1,-1,2)，所以距离为，
d=\frac{|1+1-4-2|}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{2\sqrt 6}{3}

2017-2-6. 求曲面\Gamma = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : y=1+x^2+z^2 \}，和平面\Pi = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : 2x+z-y=4 \}的距离。

由题，设曲面\Gamma上距平面\Pi最近的点为M(x,y,z)。
所以，曲面在此处的法向量为\overrightarrow{n}=(2x,-1,2z)。
又显然有，平面的法向量为(2,-1,1)。
所以M(1,\frac{9}{4},\frac{1}{2})，所以距离为，
d=\frac{|2+\frac{1}{2}-\frac{9}{4}-4|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{5\sqrt 6}{8}

2017-3-6. 求曲面\Gamma = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x=\sqrt{7+y^2+z^2} \}，和平面\Pi = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : y+z-3x=3 \}的距离。

由题，设曲面\Gamma上距平面\Pi最近的点为M(x,y,z)。
所以，曲面在此处的法向量为\overrightarrow{n}=(-1,\frac{y}{\sqrt{7+z^2+y^2}},\frac{z}{\sqrt{7+z^2+y^2}})。
又显然有，平面的法向量为(-3,1,1)。
所以M(3,1,1)，所以距离为，
d=\frac{|1+1-9-3|}{\sqrt{1+1+9}}=\frac{10}{\sqrt{11}}

2018-1-2. 直角坐标系内，有直线L=\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : \frac{x-1}{2}=y=\frac{z+2}{3} \}。求原点O到直线L的距离，以及经过原点O和直线L的平面的一般方程。

由题，直线L经过点M(1,0,-2)，其方向向量为\overrightarrow{n}=(2,1,3)。所以，距离为
d=\frac{|\overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{3\sqrt 3}{\sqrt 7}
显然，所求平面的法向量为
\overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{n}=(2,-7,1)
又因为平面经过原点，所以平面的方程为
2x-7y+z=0

2018-2-2. 直角坐标系内，有直线L_1=\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x+1=\frac{y-2}{2}=z \}和直线L_2=\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : \frac{x-2}{3}=y+1=z+2 \}。求L_1和L_2之前的距离，以及穿过L_1平行L_2的平面的一般方程。

由题，L_1经过点M(-1,2,0)，其方向向量为\overrightarrow{n_1}=(1,2,1)。
L_2经过点N(2,-1,-2)，其方向向量为\overrightarrow{n_2}=(3,1,1)。
所以，距离为
d=\frac{|(\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}) \cdot \overrightarrow{MN} |}{|\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}| } = \frac{7}{\sqrt{30}}
显然，所求平面的法向量为
\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}=(1,2,-5)
又平面经过点M(-1,2,0)，所以平面的方程为
x+2y-5z-3=0

2019-3-3. 有抛物面P = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : z = x^2 + y^2 +1 \}，平面\Pi = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x - 2y + 2z = 5 \}，点M(1,1,3)。

(1) 求原点到抛物面P上M点处的切平面的距离；
(2) 求抛物面P和平面\Pi相交形成的曲线在M点的切线的点向式方程。

(1) 由题，抛物面P的法向量为
\overrightarrow{n}=(F_x,F_y,F_z)=(2x,2y,-1)
在M点处\overrightarrow{n}=(2,2,-1)，所以切平面的方程为，
2(x-1)+2(y-1)-1(z-3)=0
即2x+2y-z=1，所以原点到此平面的距离为，
d=\frac{1}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{1}{3}

(2) 同上易得，平面\Pi在M点处的法向量为\overrightarrow{b}=(1,-2,2)。
所以切线的方向向量为，
\overrightarrow{n} \times \overrightarrow{b} = (2,-5,-6)
所以，切线的点向式方程为
\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z-3}{-6}

2019-4-5. 有双曲面\Gamma = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x^2+y^2=z^2+1 \}和直线L=\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4} \}。

(1) 求双曲面\Gamma上到直线L距离最近的点的坐标；
(2) 求双曲面\Gamma到直线L的距离。

(1) 由题，双曲面的法向量为(2x,2y,-2z)，即(x,y,-z)。
设点M(x,y,z)即为所求点，易知
\begin{cases} (x,y,-z) \bot (2,3,4) \\ \exists t \in R : (x,y,z)+t(x,y,-z) \in L \end{cases}
即，
\begin{cases} 2x+3y=4z \\ \frac{(1+t)x}{2}=\frac{(1+t)y}{3}=\frac{(1-t)z}{4} \end{cases}
所以，当1+t \neq 0，有y=\frac{3}{2}x。又因为2x+3y=4z，所以z=\frac{13}{8}x。又因为M(x,y,z) \in \Gamma，所以
x^2+(\frac{3}{2}x)^2-(\frac{13}{8}x)^2=1
所以，x= \pm \frac{8}{\sqrt{39}}，y= \pm \frac{12}{\sqrt{39}}，z= \pm \frac{13}{\sqrt{39}}。此时t=-\frac{3}{29}，距离为
d=|t|\sqrt{x^2+y^2+(-z)^2} = \sqrt{\frac{3}{29}}
当1+t=0时，z=0，又因为
\begin{cases} 2x+3y=4z \\ x^2+y^2=z^2+1 \end{cases}
所以，x= \pm \frac{3}{\sqrt 13}，y= \mp \frac{2}{\sqrt 13}，z=0。此时t=-1，距离为
d=|t|\sqrt{x^2+y^2+(-z)^2} = 1 > \sqrt{\frac{3}{29}}
所以，所求点的坐标为(\pm \frac{8}{\sqrt{39}},\pm \frac{12}{\sqrt{39}},\pm \frac{13}{\sqrt{39}})

(2) 显然，双曲面\Gamma到直线L的距离即为\sqrt{\frac{3}{29}}。

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