图像傅里叶变换（二维离散傅里叶变换）

应用：二维离散傅里叶变换是将图像从空间域转至频域，在图像增强、图像去噪、图像边缘检测、图像特征提取、图像压缩等等应用中都起着极其重要的作用。
理论基础：任意函数都可以表示成正弦函数的线性组合的形式。
二维离散傅里叶变换公式如下：

二维离散傅里叶变换公式（指数表示方法）

式中 f(x,y) 代表一幅大小为 M x N 的矩阵，其中 x = 0,1,2,···,M-1 和 y = 0,1,2,···,N-1 ，F(u,v) 表示 f(x,y) 的傅里叶变换。可以转换为三角函数表示方法，其中 u 和 v 可用于确定正余弦的频率。 F(u,v) 所在坐标系被称为频域，由 u = 0,1,2,···,M-1 和 v = 0,1,2,···,N-1 定义的 M x N 矩阵常称为频域矩阵。f(x,y) 所在坐标系被称为空间域， 由 x = 0,1,2,···,M-1 和 y = 0,1,2,···,N-1 所定义的 M x N 矩阵常被称为空间域矩阵。显然频域矩阵的大小与原空间域矩阵大小相同。
频域矩阵中每个点的都代表了一个频率为 u，v 的函数，这些函数在空间域的组合即为原函数 f(x,y)。

二维离散傅里叶逆变换公式如下：

二维离散傅里叶逆变换公式（指数表示方法）

其中 x = 0,1,2,···,M-1 和 y = 0,1,2,···,N-1。因此，给定 F(u,v) 就可以通过逆 DFT 得到 f(x,y)。
在频域原点处的值 F(0,0) 被称为傅里叶变换的直流（dc）分量，该术语源自电气工程学，意指直流电（频率为 0 的电流）。F(0,0) 等于 f(x,y) 的平均值的 MN 倍。
即使 f(x,y) 是实数，F(u,v) 通常也是复数。直观的分析一个变换的主要方法是计算它的频谱 [F(u,v) 的幅度] ，并将其显示为一幅图像。令 R(u,v) 和 I(u,c) 分别表示 F(u,v) 的实部和虚部，则傅里叶频谱定义为：

傅里叶频谱定义

变换的相位角定义：

相位角定义

指数表示：

指数表示

功率谱定义：

功率谱

通过二维离散傅里叶变换公式可以看出，若 f(x,y) 是实数，那么其傅里叶变换 F(u,v) 关于原点共轭对称：

共轭对称

那么傅里叶变换幅值原点对称：

幅值原点对称

可得 DFT 周期性：

DFT 周期性

DFT 在u，v 方向上都是无穷的，周期由M和N决定。

可得 DFT 逆变换周期性：

逆变换周期性
傅里叶逆变换得到的图像也是周期无穷的。理论上的无穷，但在实际变换实现中，只需要计算一个周期矩阵即可。
注意：在计算出的二维频率矩阵后，通常为了简化频谱的视觉分析，会将原点的变换值移动到频率矩形的中心，在二维傅里叶变换之前对f(x,y) 乘以(-1)的 x+y 次方可以完成该变换。在实际处理中，只需要对生成的频率矩阵以中心（M/2,N/2）进行对角矩阵的交换即可。

在编程中的实践具体请看我在简书的另一篇文章《与OpenCV的第十天》