伽利略变换

牛顿力学非常符合常识，所以这种变换应该也是符合常识的，我们不妨先来猜一猜。

假设我们在地面系S建立一个坐标系（x,y,z,t），有一辆火车以速度v（沿x轴正方向）匀速运动，我们在火车系S’里也建一个坐标系（x’,y’,z’,t’）。

（为了简化问题，我们让这两个坐标系一开始是重合的。）

对于任何发生的事件，地面系和火车系都会记录下事件发时空信息（x,y,z记录空间信息，t记录时间信息）。我们想要知道的就是：这两套坐标系记录的时空信息之间有什么关系？

先看时间。

假如火车上有一个小球开始下落，火车上的时钟记录的时间为八点，那地面上的时钟会觉得是几点呢？不要笑，我不是在逗你玩，我是在讨论一件很严肃的事情~

你可能会觉得这还需要讨论么？

火车上的时钟记录的时间是早上八点，地面的钟只要没坏，不考虑什么时区的问题，它当然也是早上八点。

不仅如此，所有的钟记录的时间应该都是一样的，这是生活常识。我们宣布奥运会什么时候举行，只需要对外公布一个时间。不会说北京时间什么时候，上海时间什么时候，更不会说高铁时间什么时候，因为我们默认大家都共用一个时间：同一个世界，同一个时间。

没错，这种认为是非常有道理的，也非常符合我们的常识。

我不会说你这种想法是对还是错，我只能说这代表了你对时空的一种看法，这是你的一种时空观。在这种时空观下，时间是绝对的，独一无二的，所有人都共用同一个时间。

也就是说，如果你认同这种绝对的时间观，那么火车系测量时间t’和地面系测量时间t就应该永远都是相等的，即t’=t。

到后面我们会发现，这个问题绝不是你想象的这么简单，它背后大有学问。越是符合常识，越是平凡的东西，想要发现它的不平凡就越不容易。

接下来看空间。

地面系和火车系的三个空间坐标x,y,z应该满足什么关系呢？因为火车只沿着x轴运动，所以，你在地面系和火车系测量的y和z的值应该也是一样的（即y’=y,z’=z），唯一不同的就是x了。

这个关系也不难，大家琢磨一下就能得到这个结果：x'=x-vt。

也就是说，如果地面系测量的横坐标是x，你用这个x减去vt（火车的速度v乘以时间t），就能得到火车系下测量的横坐标x’。

你可以自己比划一下，假如你在火车系的原点处放一个小球，那么这个小球在火车系的横坐标x’就永远等于0（x’=0）。火车的速度乘以时间vt刚好就是地面系测量的它的位移x，这代入（0=x-vt）进去刚刚好。

如果小球不在原点，不难验证它们的横坐标依然满足这个关系。于是，我们就找到了两个惯性系之间的坐标变换关系：

如果我在地面系S观测到一个事件的时空坐标为（x,y,z,t），通过上面的坐标变换公式就能求出它在速度为v的火车系S’上的坐标（x’,y’,z’,t’），这样我们就找到了联系两个惯性系之间的一座桥梁。

回想一下，这种变换之所以能成立，是因为我们假设时间是绝对的（t’=t，它在所有参考系里都是一样的），空间像一个坚固的大盒子，无法被压缩。在这种绝对的时空观下，我们推出了两个惯性系之间的坐标变换关系，这个变换就叫伽利略变换。

牛顿力学也是绝对的时空观，牛顿在《自然哲学的数学原理》的一开头就写到：绝对的、真实的、数学的时间，由其特性决定，自身均匀的流逝，与一切外在事物无关；绝对空间自身的特性与一切外在事物无关，处处均匀，永不移动。

既然牛顿力学是绝对的时空观，而我们从绝对时空观里又自然地推导出了伽利略变换。那么，不难想象，在牛顿力学里联系两个惯性系的坐标变换应该就是伽利略变换。

也就是说，如果牛顿力学满足相对性原理，那么牛顿力学的所有定律就应该在伽利略变换下保持数学形式不变。