【行列式】7、范德蒙行列式

2021-01-18 本文已影响0人看远方的星

范德蒙行列式.png

一、练习答案

一个条件三个结论。
条件：系数行列式不等于零。
三个结论：有解，解唯一，解的表达式（ $x_{n}=\frac{D_{n}}{D}$ ）

二、知识点

1、n阶范德蒙行列式介绍

$D_{n}=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&\cdots&1 \\ a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots&a_{n} \\ a_{1}^{2}&a_{2}^{2}&a_{3}^{2}&\cdots&a_{n}^{2} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ a_{1}^{n-1}&a_{2}^{n-1}&a_{3}^{n-1}&\cdots&a_{n}^{n-1} \\ \end{array} \right| =\prod_{1\leq j< i\leq n}^{}(a_{i}-a_{j})$

$=(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1}) \cdots (a_{n}-a_{1})$
$(a_{3}-a_{2})(a_{4}-a_{2}) \cdots (a_{n}-a_{2})$
$\cdots$
$(a_{n}-a_{n-1})$

按升幂排列，幂指数成等差数列。
范德蒙行列式答案很好记，选定第二行， $a_{2}\cdots a_{n}$ 依次都减去 $a_{1}$ 再相乘，然后换 $a_{2}$ 即 $a_{2}\cdots a_{n}$ 都减去 $a_{2}$ 再相乘，直到 $a_{n-1}$ 。

若 $j=1 \quad i=2,3\cdots n$ 则连乘：
$=(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1}) \cdots (a_{n}-a_{1})$
共n-1项

若 $j=2 \quad i=3,4\cdots n$ 则连乘：
$=(a_{3}-a_{2})(a_{4}-a_{2}) \cdots (a_{n}-a_{2})$
共n-2项

若 $j=n-1 \quad i=n$ 则连乘：
$=(a_{n}-a_{n-1})$
共1项

所以总的项数为 $1+2+ \cdots +n-1=\frac{n(n-1)}{2}$

2、n阶范德蒙行列式的证明

归纳法证明

当k=2时， $D_{2}=\left| \begin{array}{cccc} 1&1 \\ a_{1}&a_{2} \\ \end{array} \right| =a_{2}-a_{1}=\prod_{1≤j<i≤2}^{}(a_{i}-a_{j})$

设k=n-1时公式成立，即：
$D_{n-1}=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&\cdots& 1 \\ a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{n-1} \\ \cdots& \cdots&\cdots&\cdots \\ a_{1}^{n-2}&a_{2}^{n-2}&\cdots&a_{n-1}^{n-2} \\ \end{array} \right| =\prod_{1≤j<i≤n-1}^{}(a_{i}-a_{j})$

下证k=n时成立
$D_{n}=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&\cdots& 1 \\ a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{n} \\ \cdots& \cdots&\cdots&\cdots \\ a_{1}^{n-2}&a_{2}^{n-2}&\cdots&a_{n}^{n-2} \\ a_{1}^{n-1}&a_{2}^{n-1}&\cdots&a_{n}^{n-1} \\ \end{array} \right| =\left| \begin{array}{cccc} 1&1&\cdots& 1 \\ 0&a_{2}-a_{1}&\cdots&a_{n}-a_{1} \\ \cdots& \cdots&\cdots&\cdots \\ 0&a_{2}^{n-2}-a_{1}a_{2}^{n-3}&\cdots&a_{n}^{n-2}-a_{1}a_{n}^{n-3} \\ 0&a_{2}^{n-1}-a_{1}a_{2}^{n-2}&\cdots&a_{n}^{n-1} -a_{1}a_{n}^{n-2} \\ \end{array} \right|$

$=(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1})\cdots(a_{n}-a_{1}) \left| \begin{array}{cccc} 1&1&\cdots&1 \\ a_{2}&a_{3}&\cdots&a_{n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{2}^{n-3}& a_{3}^{n-3}&\cdots& a_{n}^{n-3} \\ a_{2}^{n-2}& a_{2}^{n-3}&\cdots& a_{n}^{n-2} \\ \end{array} \right|$

$=(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1})\cdots(a_{n}-a_{1})\prod_{2≤j<i≤n}^{}(a_{i}-a_{j})$

$=\prod_{1≤j<i≤n}^{}(a_{i}-a_{j})$

第 $i-1$ 行乘以 $-a_{1}$ 加到第 $i$ 行上，从最后一行开始，再提出共同项，就出现了 $n-1$ 范德蒙行列式。再用上假设，即可得证。

3、应用范德蒙行列式进行计算

对于范德蒙行列式，我们的任务就是利用它计算行列式，因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果。要学会识别范德蒙行列式，并用范德蒙行列式的结果做题。

第一种：直接给出范德蒙行列式：

$D=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ 2&1&3&4 \\ 4&1&9&16 \\ 8&1&27&64 \\ \end{array} \right|$

$=(1-2)(3-2)(4-2)(3-1)(4-1)(4-3)=-12$

$D=\left| \begin{array}{cccc} 1&2&4&8 \\ 1&1&1&1 \\ 1&3&9&27 \\ 1&4&16&64 \\ \end{array} \right| =-12$ 为上一行列式的转置。

第二种：需转换才能得到范德蒙行列式

$D=\left| \begin{array}{cccc} (a-1)^{3}&(a-2)^{3}&(a-3)^{3}&(a-4)^{3} \\ (a-1)^{2}&(a-2)^{2}&(a-3)^{2}&(a-4)^{2} \\ a-1&a-2&a-3&a-4 \\ 1&1&1&1 \\ \end{array} \right| =？$

两种理解方式：一是第一行和第四行互换，第二行和第三行互换，负负得正。二是第四行和第三行互换，再和第二行互换，再和第一行互换，3次，第三行换2次，第二行换1次，第一行不用换，即 $(-1)^{3+2+1}=6$ 也是正数。第二种方式无需考虑行列式出现奇偶行。
$D=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ a-1&a-2&a-3&a-4 \\ (a-1)^{2}&(a-2)^{2}&(a-3)^{2}&(a-4)^{2} \\ (a-1)^{3}&(a-2)^{3}&(a-3)^{3}&(a-4)^{3} \\ \end{array} \right|$

列再互换，方便计算：

$=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ a-4&a-3&a-2&a-1 \\ (a-4)^{2}&(a-3)^{2}&(a-2)^{2}&(a-1)^{2} \\ (a-4)^{3}&(a-3)^{3}&(a-2)^{3}& (a-1)^{3} \\ \end{array} \right| =3!2!1!=12$

$D=\left| \begin{array}{cccc} (a)^{n}&(a-1)^{n}&\cdots&(a-n)^{n} \\ (a)^{n-1}&(a-1)^{n-1}&\cdots&(a-n)^{n-1} \\ \vdots & \vdots& \ddots&\vdots\\ a&a-1&\cdots&a-n \\ 1&1&\cdots&1 \\ \end{array} \right| =?$

$=(-1)^{n+(n-1)+ \cdots +1}\left| \begin{array}{cccc} 1&1&\cdots&1 \\ a&a-1&\cdots&a-n \\ \vdots & \vdots& \ddots&\vdots\\ (a)^{n-1}&(a-1)^{n-1}&\cdots&(a-n)^{n-1} \\ (a)^{n}&(a-1)^{n}&\cdots&(a-n)^{n} \\ \end{array} \right|$

再对列进行交换，方便计算，此时正负号和行交换一样，奇加奇为偶，偶加偶为偶，因此符号必定为正：

$=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&\cdots&1 \\ a-n&a-(n-1)&\cdots&a \\ \vdots & \vdots& \cdots&\vdots\\ (a-n)^{n-1}&(a-(n-1))^{n-1}&\cdots&(a)^{n-1} \\ (a-n)^{n}&(a-(n-1))^{n}&\cdots&(a)^{n} \\ \end{array} \right|$

$=n! \cdots 2!1!$

三、练习

$D=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ a_{1} &a_{2}&a_{3}&a_{4} \\ a_{1}^{2}&a_{2}^2&a_{3}^{2}&a_{4}^{2} \\ a_{1}^{4}&a_{2}^{4}&a_{3}^{4}&a_{4}^{4} \\ \end{array} \right| =?$