统计学笔记2 - 二项分布

2020-06-06 本文已影响0人暴走TA

随机变量

随机变量一般记为 $X$ ，它不是一个量，更像是个函数的结果，类似一组实验结果，如抛5次硬币正面向上的次数就可以记为 $X$ ，每求一次 $X$ ，相当于抛5次硬币将正面向上的次数记为 $X$ ，由于不确定性，所以称谓随机变量

二项分布公式

$P(X=K)=C_k^n(p)^k(1-p)^{n-k}$

步骤分析
$X$ 代表在n次实验中成功的次数

$P(X=K)$ 表示在n次实验中成功K次的概率

举例抛硬币有正面和反面两种情况，我们领正面为T反面为B 。抛5次，求2次正面朝上的概率为多少。
两次正面朝上可以是：
TTBBB 、TBBBT 、BTTBB......等多种情况，我们一第一种TTBBB为例
设正面出现的概率都是0.6,反面出现的概率则为（1-0.6）则

概率	0.6	0.6	0.4	0.4	0.4
状态	T	T	B	B	B

所以要满足上面的这个状态它的概率是 $0.6\times0.6\times0.4\times0.4\times0.4=0.02304$

上面只是一种组合的出现概率，它对应的是公式中的 $(p)^k(1-p)^{n-k}$

排列组合
上面的TTBBB将排列组合表上序号，则 $T_1T_2B_1B_2B_3$
那还有 $T_2T_1B_1B_2B_3$ 这种组合，但是从组合这样是上来将这没有区别，所以我们要去重，然后求出所有的排列组合，这个过程对应的就是公式中的 $C_k^n$ 代表的是在n次实验中出现k次T或其它这里直接和p对应，就是它出现的概率，我们还是当T来做，排列组合的求解公式为 $\frac{n!}{k!(n-k)!}$
这样便可以求出P（X=K）的时候的出现概率。

排列组合推到
5个数里面指定的两个数的组合的计算方式为
$5 \times 4 =\frac{5!}{(5-2)!}$
踢出重复的组合，即两个数的位置对调当做同一结果。
$\frac{5\times 4}{2\times 1}=\frac{5!}{3!2!}$
所以n次当中求出现k次的组合为
$\frac{n!}{k!(n-k)!}$

二项分布期望值一般式

随机变量 $X$ 的期望 $E(X)$ 为：n次实验成功的次数（例如，抛六次硬币得到正面朝上的次数）
$E(X)=n*p$ n为实验次数，p为成功的概率

伯努利分布的均值 01分布

伯努利分布是二项分布的一种
设成功为1概率为p 失败为0 概率为(1-p)
$\mu=1\times p+0\times(1-p)$
$\mu=p$

伯努利分布的方差为

设成功为1概率为p 失败为0 概率为(1-p)
$\sigma^2=(1-\mu)^2\times p+(0-\mu)^2\times(1-p)$
由 $\mu=p$ 得
$\sigma^2=(1-p)^2\times p+(0-p)^2\times(1-p)$
$\sigma^2=(1-2p+p^2)\times p+p^2\times(1-p)$
$\sigma^2=(p-2p^2+p^3)+p^2-p^3$
$\sigma^2=p-p^2$
$\sigma^2=p(1-p)$
所以伯努利的方差就是成功的概率与失败的概率的乘积

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