线代--特征值与特征向量[2]

2023-01-16 本文已影响0人倪桦

对于 $A\vec u = \lambda \vec u$ ，对应一个特征值 $\lambda$ 的特征向量不唯一；求解特征向量的过程在于求解齐次线性系统 $(A - \lambda I)\vec u = O$ ，并且由于 $\vec u != O$ ，所以该线性系统存在一组解 $[\vec u_1,\vec u_2...]$ ，也即特征向量组成了 $A - \lambda I$ 的零空间(刨除零向量)。

对应特征值 $\lambda$ 的特征向量的解空间又称 $\lambda$ 的特征空间( $E_{\lambda}$ ): $\ \ E_{\lambda} = \{O\} \cup \{\lambda \small 的特征向量\}$ 。

对于一个 $n$ 阶变换矩阵 $A$ ，则其对应求解特征向量的行列式 $\det (A - \lambda I) = O$ 展开后得到的将是一个关于 $\lambda$ 的 $n$ 次方程（在实数域和复数域内， $\lambda$ 对应 $n$ 个解）。

关于特征值的解的3种情况：

① $\lambda$ 在实数域内存在 $n$ 个互不相等的解， $n_1 \ \ != n_2 \ \ != ... \ \ != n_n$ ，这些特征值称为简单特征值（应用最多）;
② $\lambda$ 在实数域内存在的 $n$ 个解中包含重复值， $n_i = n_j =... = n_k$ ，则称这些重复的特征值为多重特征值，使用 $\color {red} {\small 重数}$ 来描述重复特征值的重复次数；
③ $\lambda$ 在实数域内无解，仅在复数域有解，如 $\det (A - \lambda I) = \lambda ^2 + 1 = 0 \rightarrow \lambda_1 = i ; \lambda_2 = -i$ ,这种情况称为复数特征值。

如果存在 $\lambda = 0$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，意味着对于线性方程 $A\vec u = \lambda \vec u \rightarrow A\vec u = O$ ,要使得 $\vec u \neq O$ ，则矩阵 $A$ 一定不可逆，所以当矩阵 $A$ 可逆就有 $\lambda \neq 0$ 。

关于一些特殊矩阵的特征方程求解：

① 对角矩阵
$A =\ \ \ \ \ \ \begin {bmatrix} d_1&0&...&0 \\ 0&d_2&...&0 \\ 0&0&...&d_n \\ \end {bmatrix} \rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \det(A) = d_1*d_2*...*d_n$

$A-\lambda I = \begin {bmatrix} d_1 - \lambda&0&...&0 \\ 0&d_2 - \lambda&...&0 \\ 0&0&...&d_n - \lambda \\ \end {bmatrix} \rightarrow \det(A-\lambda I) = (d_1 - \lambda)*(d_2 - \lambda)*...*(d_n - \lambda)$

$\therefore \lambda_1 = d_1;\lambda_2 = d_2;...\lambda_n = d_n$

同理可直接求取上三角，下三角形状的变换矩阵 $A$ 的特征值。

关于特征值的一些基本性质：

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则有 $\lambda ^m$ 是 $A ^m$ 的特征值 $(m \ge 1)$ ;
$\ \ \ \ \$ 数学归纳 $\because m =1$ 成立 $，A\vec u = \lambda \vec u$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ 假设 $\ \ m =k A ^ k\vec u = \lambda ^ k \vec u$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ 当 $\ \ \ \ \ m =k+1$ 时 $, A ^ {k+1} \vec u = A * A^k \vec u = A \vec u* \lambda ^ k = \lambda \vec u * \lambda ^ k = \lambda ^ {k+1} \vec {u}$ 得证假设。
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则有 $\lambda ^{-1}$ 是 $A ^{-1}$ 的特征值（已给出前提矩阵 $A$ 可逆）;
$\ \ \ \ \$ 由 $\ \ A\vec u = \lambda \vec u$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A^{-1}* A\vec u = A^{-1}* \lambda \vec u$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec u = \lambda*A^{-1}\vec u \rightarrow \vec u \lambda ^{-1} = A^{-1}\vec u$ 得证。

线性变换矩阵的特征值和特征空间--几何理解

投影变换
在二维空间，把任意向量都投影到 $\vec u = (2,1)$ 所在直线的变换中，变换前后方向保持不变的向量 $A\vec a = \vec a{'}= \lambda \vec a$ 将存在于直线 $y = 0.5x$ 上，且这些向量经投影变换后大小不变即 $\lambda = 1$ ,所以该直线上的所有向量构成了投影矩阵 $A$ 中 $\lambda =1$ 的解空间。除了直线上的向量，垂直于直线的向量投影到直线上将变成零向量 $O$ ，而 $O$ 与变换前的向量同向，不过长度为零，所以垂直于 $y = 0.5x$ 的直线上的所有向量构成了投影矩阵 $A$ 中 $\lambda =0$ 的解空间。

对称变换
在二位空间中，变化矩阵 $A= \begin {bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end {bmatrix}$ 将平面上的所有向量关于直线 $y = x$ 对称变换。那么对处于 $y = x$ 直线上的任意向量，对称前后将等大同向，所以这些向量构成了 $A$ 中 $\lambda =1$ 的解空间。而对于垂直于 $y = x$ 的直线 $y = -x$ 上的向量，这些向量对称前后将等大反向，因此构成了 $A$ 中 $\lambda =-1$ 的解空间。

旋转矩阵的特征值和特征空间--几何理解

对于空间中任意一个向量 $\vec u$ 经过旋转变换得到的向量 $\vec v$ ，几何中不会存在任何 $\vec v$ 与向量 $\vec u$ 同向。所以，对于旋转矩阵 $A$ ，如逆时针90°旋转矩阵 $A= \begin {bmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end {bmatrix}$ ，求解其特征值将得到 $\det(A - \lambda I) = O \rightarrow \lambda ^2 + 1 = 0$ ，意味着其特征值只能在复数空间寻求解。