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目前关于椭偏仪设备及应用技术的专门中文专著还很难找到，因此尝试对Hiroyuki Fujiwara先生的《SPECTROSCOPIC ELLIPSOMETRY:Principles and Applications》这边书进行翻译，供需要的人参考。因为水平有限，错误在所难免，请批评指正。 此外，翻译过程皆个人行为，不产生商业利益，如果和原著存在版权上的问题，请联系我即刻删除。谢谢。ありがと。

第三章 光的偏振

在光谱椭偏测试中，样品的光学常数是通过光的反射（或透射）过程中光的偏振态的改变量来确定的。本章我们将回顾光的偏振原理，这也是椭偏技术的基础。本章也将介绍不同的光学部件，包括起偏器和检偏器，这些光学部件在椭偏测试中得到了广泛的应用。为了理解椭偏测试的原理，我们需要理解琼斯矢量和斯托克斯矢量，它们使我们可以从数学上描述光的偏振。本章我们也将定义光的偏振状态，并利用数学方法对它们进行描述。

3.1 偏振光的表示方法

当光波的电场方向有特定的取向，这样的光被称为偏振光。如我们在之前章节中所看到的，p光和s光表示由图2.14所定义的偏振光。如果光波的振动方向完全随机，这种光被称为非偏振光（或自然光）。当光沿着同一个方向传播时，光的偏振可以由各自的电场叠加来表示，在这种情况下，为了正确地描述光的偏振态，光波之间的相位差需要被加以考虑。根据不同的相位差，光的偏振态从线偏振到圆偏振之间发生变化。在这一小节，我们将讨论偏振光的基本原理，包括光的相位和偏振态的类型。

3.1.1 光的相位

光波（或电磁波）的初始相位是描述偏振态的特别重要的参数。如我们在之前章节中所看到，光的传播由方程E=E₀exp[i(wt-Kx+δ)]所描述（式2.24a）。利用（2.20）可以得到E=E₀cos(wt-Kx+δ)。初始相位δ的变化范围在0到2π。图3.1显示了在t=0时刻不同光波的波形沿着x轴正方向传播的情况。当δ增大到π/2时，波形在x轴上朝右移动。图中显示了余弦波从初始位置（-Kx+δ）=0处开始传播，这是wt=0（t=0）。因此波形的移动用δ表示为δ/K。特别的当K=1，当如右边波形所示的当δ为π/2时，波形向右移动了δ。如果用（wt+δ）表示相位，我们可以更好地理解这种效应。因为在这种情况下，增加地δ对应着随时间增加wt=δ。相反，如果δ的符号为负，则波的延迟为wt=δ。当相位用(wt-Kx+δ)定义的时候，符号为正的δ暗示着相位的延迟，因为在这种情况下wt的符号变成了负号。

图3.1不同初相δ的光波

3.1.2 光的偏振态

以沿着z轴传播的光波为例，偏振态可以由平行于x轴和y轴方向的两个电场的叠加来描述。在这种情况下，我们可以吧沿着z轴传播的电磁波表示为两个电场矢量Ex和Ey的矢量和：

这里，x和y是坐标轴的单位矢量。当我们描述偏振态时，并不需要得到初始相位（δx，δy）的绝对值，仅仅需要考虑的时相位之差δy-δx（或δx-δy）。类似的，在光谱椭偏仪中，我们也仅仅需要考虑相位差。
图3.2 (a) 线偏振光, (b) 右旋圆偏振光，（c）椭圆偏振光，分别对应x轴与y轴上的相位差（δy-δx）为(a) 0, (b) π/2，（c）π/4
图3.2列出了随着相位差δy-δx变化而改变的偏振态。在图中，假定Ex0=Ey0，K=1。如图3.2（a）所示，当δy-δx=0时，Ex和Ey不存在相位差，合成矢量（Ex+Ey）在x-y平面内的取向恒定为45°，也就是说，取向为45°的电磁波可以被分解为分别平行于x轴和y轴振动的两个电磁波。然而，合成矢量的振幅是Ex0（Ey0）的倍。图3.2（a）中所示的偏振态被称为线偏振。当Ex和Ey之间的相位差为90°（δy-δx=π/2）时，当光传播时，在x-y平面内的合成矢量的方向将保持旋转。如图3.2（b）中所示的偏振态被称为圆偏振。从图中可以看出，因为δy-δx=π/2并且K=1，平行于y轴振动的波超前于平行于x轴振动的波π/2的相位。在图3.2（b）中，我们我们选择z轴上的一点，当光波随时传播时，合成矢量的方向将顺时针旋转（在z轴的正方形看旋转方向时逆时针）。这种特别的偏振态我们称之为右旋圆偏振光。如图3.2（c）中所示的偏振态称为椭圆偏振，当δy-δx=π/4时，其为右旋椭圆偏振。

图3.3列出了当δy-δx和δx-δy在0到2π之间变化时偏振状态的变化。从图中可以看出相对相位差的变化将显著改变偏振态。当相位差为0或π时，光表现为线偏振光。如果Ex0≠Ey0，即使当δy-δx=π/2光也表现为椭圆偏振态。我们将在下一节中看到，椭偏仪的相位差一般表示为δx-δy，而不是δy-δx。因此，在接下来的内容中，我们将采用δx-δy来描述相位差。

图3.3 偏振态随着相位差（δx-δy和δy-δx）的变化，本图中x轴与y轴上的振幅相等

3.2 光学元件

为了能检测偏振态，需要一个由不同光学元件组成的光学仪器。椭偏测量中的光学元件可以被分为起偏器（检偏器），补偿器和消偏器。起偏器的作用是将非偏振光转换为线性偏振光，补偿器的作用是将线性偏振光转换为圆偏振光。消偏器的作用是将偏振光转换为非偏振光。本节将对这些光学元件做一个介绍。

3.2.1 起偏器（检偏器）

起偏器一般放置于光源处，将光源发出的非偏振光转换为线偏振光。另一方面，检偏器一般放置于探测器前，对通过检偏器的光的强度进行检测可以确定光的偏振态，尽管起偏器和检偏器实际上是同样的光学元件，但根据其不同的作用分别对其命名。通常，起偏器（检偏器）由一个光学棱镜，其材料为CaCO₃，一般被称为方解石。图3.4（a）中所示为方解石的晶体结构，如我们在之前的2.2.3中所述，紫外-可见光波段的折射率（或介电常数）由材料的电极化所确定。因此，如果材料中的电子浓度在不同的方向不是均匀分布，不同方向上面的折射率也是不同的，这样的材料表现出光学各向异性。如图3.4（a），方解石具有Ca与CO₃交替生长的多层结构。在平行于纸面的平面中CO₃的电子浓度较高，电介质极化在这个平面内更容易发生。如公式2.44，高的电介质极化导致折射率的升高，从而平行于纸面的电场（Eo）的导致的折射率将比垂直于纸面电场（Ee）导致的折射率更大。如果对于Eo和Ee的折射率分别为no和ne，我们将看到no＞ne。特别指出，Eo和Ee分别被称为寻常光和非寻常光。图3.4（a）中可以看到，方解石只在垂直于纸面的平面中表现出光学各向异性，这样的晶体被称为单轴晶体。图中的Ee被称为光轴。石英也是光学各向材料，但是no＜ne。更普遍的对于折射率差异引起的光学各向异性，我们称为双折射现象。光学各向异性将在第6章进行细节上的讨论。
图3.4（b）中显示了寻常光与非寻常光在方解石中的传播。在图2.5（a）中所示，介质中光的波长由λ/n给出，因此介质中寻常光和非寻常光的波长分别为λ/n0和λ/ne（λ/n0＜λ/ne）。考虑到透明介质中的光速表示为s=c/n（式2.28），因此在方解石中（n0＞ne），非寻常光的速度将大于平凡光的速度。在方解石中，非寻常光的振动方向被称为快轴，而平凡光振动的方向被称为慢轴。而在石英中，平凡光的方向是快轴，因为石英中n0＜ne。图3.4（b）显示了光沿法线方向入射的情况。而在斜入射的情况，因为不同的折射率，寻常光和非寻常光将沿着不同的透射角传播（见6.1.1）。

图3.4 （a)沿着光轴往下看的方解石（CaCO₃）晶体的结构，（b）光在方解石中的传播
图3.5中所示为被称为Glan-Taylor棱镜的起偏器（检偏器）的结构。Glan-Taylor棱镜由两个棱镜组成，可以从非偏振光中提取出线偏振光。在图3.5（a）中，只有平行于x轴方向振动的光可以通过起偏器，因此这种起偏器的x轴被称为透射轴。在椭偏测试中，用方解石制成的Glan-Taylor棱镜得到了广泛的应用。在Glan-Taylor棱镜中，线偏振光是通过利用全反射的原理来得到的（见2.3.5）。图3.5（b）所示为图3.5（a）的顶视图。在这种的起偏器中，两块方解石棱镜的光轴平行于纸面对准，两块棱镜的中间由空气填充。现在考虑光在第一块棱镜中的传播。当光通过棱镜到达棱镜/空气的界面发生反射，全反射角由sinθc=1/ni给出（式2.74）。在方解石中，θc根据折射率的各向异性而在不同的方向上有所差异。如之前提及的，当n_i增大，θ_c会随之减小。在图3.5（b）中，
图3.5 （a）Glan-Taylor棱镜用作起偏器（检偏器），（b）Glan-Taylor棱镜的结构
θ_c在E_e的方向上会更大（折射率n_e）。因此，如果我们调整如图3.5（b）中所示的入射角θ，就可以利用全反射将寻常光移除而仅仅保留非寻常光的出射。从式2.74中可以得到满足这种情况的条件式1/n_o＜sinθ＜1/n_e。因为在光子能量为En=2.1eV处，方解石的折射率为n_o=1.6584，n_e=1.4864，所以在37.1°＜θ＜42.3°的入射角度下，只有非寻常光能够出射。第二块方解石棱镜可以让通过第一块棱镜的非寻常光的光路与入射光光路平行。起偏器（检偏器）的性能有消光比来表示，在图3.5（a）所示的器件中，消光比的定义如下

这里，Ix和Iy代表x和y方向的光强。在方解石Glan-Taylor棱镜中，高性能的k~10⁵可以达到。因为光在方解石中的透射波段为0.21-5μm，因此Glan-Taylor棱镜可以用于这个波段。

图3.6中为（a）Glan-Thompson棱镜和（b）Rochon棱镜。Glan-Thompson棱镜的结构与Glan-Taylor棱镜类似，但是棱镜光轴的方向有所差别。在Glan-Thompson棱镜中，两块方解石棱镜用光学胶粘在一起。因为光学胶对紫外区域的光具有吸收作用，因此在紫外波段的透过光强较低是Glan-Thompson棱镜的一个缺点，所以Glan-Thompson棱镜在椭偏测试中没有得到应用。因为光学胶的折射率n＞1，所以Glan-Thompson棱镜中的θ角比Glan-Taylor棱镜要大。

尽管方解石被应用于Glan-Thompson棱镜中，Rochon棱镜中采用的却是石英和MgF2。如图3.6（b）所示，Rochon棱镜由两块光轴相互垂直的棱镜组成。采用Rochon棱镜，平行于纸面振动的光（E0）的光路不会发生任何偏移，因为两块棱镜在这个方向上的折射率相等，但是对于垂直于纸面振动的光，两个棱镜在这个方向上的折射率不相等（no≠ne）。对于石英由no＜ne（En=2.1eV处，no=1.5443，ne=1.5534），因此光会向图3.6（b）所示方向发生折射。在Rochon棱镜中，即使旋转棱镜，光路也会保持准直不发生偏移。这对椭偏测试来讲是一个巨大的优点，因为椭偏测试经常需要旋转光学元件。但是石英材料具有光学活性，光学活性指线偏振光的振动面在光沿着光轴传播的过程中持续旋转的现象，因此，当采用石英材质的Rochon棱镜时，需要对光学活性进行校准[3-5]。而MgF2材料不具有光学活性，并且在紫外波段具有良好的透过率。近年来，采用MgF2材料的Rochon棱镜被应用于光谱椭偏仪中，可使椭偏测试扩展到深紫外波段（~6eV）[6，7]。

图3.6 （a）Glan-Thompson棱镜，（b）Rochon棱镜

上面所涉及到的起偏器（检偏器）不能够应用于红外光波段，因为这些光学元件在红外波段（λ为约10μm或1000cm^-1）透过率都很低。在红外光谱椭偏仪中所用的是如图3.7中所示的线栅起偏器，其波数范围为100-4000cm^-1[8,9]。这种起偏器采用将窄金属线沉积在对红外波段吸收较低的基底上而制得。其中一些这类起偏器采用了光刻技术来形成这些窄金属线。假定在x平面和y平面振动的光沿法线方向射入起偏器，在y平面振动的光照射到金属线上，光的电场使金属中的电子沿y方向移动，这将导致焦耳热的产生，光因此被金属线栅吸收。而对于没有被金属吸收的部分，也会被金属所反射。而对于在x平面内振动的光，因为其振动方向与金属线的方向垂直，其对于金属中电子的作用受到金属线栅x方向上的物理限制，因此金属对这个平面内振动的光的吸收变得很小。在图3.7所示的金属线栅起偏器中，只有在x平面内振动的光可以通过。注意到起偏器的透射轴垂直于金属线的方向，这种对于光的吸收（或消光系数）的光学各向异性被称为二向色性，而不是前面所介绍的由折射率的光学各向异性而定义的双折射现象。典型的金属线栅起偏器的消光比为k~10e3，比之于Glan-Taylor起偏器其性能相对要差。

图3.7 金属线栅起偏器

3.2.2 补偿器（相位延迟器）

补偿器（相位延迟器）一般被放置在起偏器之后或检偏器之前，其作用是将线偏振光转换为圆偏振光或相反过程。补偿器也是利用材料的折射率光学各向异性的原理，往往只由一块双折射晶体构成。图3.8显示了光在补偿器中传播的过程，具体地说图中显示了以45°起偏角入射的线偏振光被转换为左旋圆偏振光的过程，与图3.4（b）中采用箭头表示的光相对应。前面提到过，平行于快轴的光的传播速度比平行于慢轴的光要快，因此补偿器可以给电场矢量Ex和Ey之间引入一个相位差。如果对式2.30进行变形，相位差可以表示如下，

这里，d表示补偿器的厚度。从式3.3可以看出相位差δ随着波长λ的变化而变化。在图3.8中，补偿器引起的相位差是δ=π/2。当一个相位差对着λ/4，如图3.8中所示，这样的补偿器也被称为四分之一波片。因为图3.8中快轴平行于x轴，所以图中圆偏振光对应于图3.3中当δx-δy=π/2的情况。通常图3.8中的光学元件被称为相位延迟器，而能够控制相位差的光学器件被称为补偿器。但是当图3.8中所示的相位延迟器在x-y平面内旋转，相对相位差也会发生变化，因此控制相位差也变得可行，所以从这个意义上讲其是一个旋转补偿器。近来，这样的旋转补偿器在光谱椭偏仪中得到了广泛的应用，而对于相位延迟器和补偿器这两个概念的区分变得相当模糊。

图3.8 补偿器对偏振态的改变，这里的d为补偿器厚度

上一节所描述的方解石很少被用于补偿器，这是因为方解石的|ne-no|数值较大，所以如果用方解石来制作补偿器的话，需要将其加工得非常薄。在实际光谱椭偏仪中一般采用MgF2[10]或云母[11,12]来制作补偿器。一般MgF2（透射波长>0.12μm）比云母（透射波长>0.29μm）在紫外波段有更好得透过率。因此，近些年来，MgF2补偿器被广泛采用。

3.2.3 光弹性调制器

对光学各向异性材料施加压力，材料得电子密度随着施加压力得方向而变化，因此材料表现出光学各向异性，这种现象被称为光弹性。光弹性引起得双折射与施加得压力具有比例关系，而光轴得方向与压力相对应。光弹性调制器是利用了光弹性的另外一种补偿器。图3.9所示为光弹性调制器的结构。图3.9（a）所示的光弹性调制器最先由Jasperson等于1969年开放成功[13]，图3.9（b）是之后的改进型[14]。最近采用光弹性调制的光谱椭偏仪一般采用后者。

图3.9（a）中所示的调制器是石英晶体和熔凝石英粘合在一起的结构，整个调制器固定在刀锋状的支撑结构上面。图3.9（a）中的石英晶体的功能是压电换能器。当对应压电换能器的共振频率的50kHz的电场被施加到石英晶体两端的电极时，周期性的压力被施加到熔凝石英上。如果起偏角为45°的线偏振光进入光弹性调制器，如图3.9（a）所示，光弹性将引起x和y方向上的一个相位差。在光弹性调制器中，δ随着时间而连续变化，表示如下[13]：

这里w=2πυ，并且υ=50kHz。在式3.4中，F显示相振幅于V/λ成比例，其中V和λ分别为施加给压电换能器的电压和入射光的波长[13]。因此，为了让δ对所有波长保持恒定，施加的电压需要被调整。

图3.9 光弹性调制器结构

在图3.9（b）所示的光弹性调制器中，一对压电换能器与熔凝石英连接，与图3.9（a）中的器件相比这样的结构更加简单。图3.9（b）的器件中，一个换能器用于对熔凝石英施加压力，另外一个换能器用于监控所施加的压力。这种调制器所引发的相位差也可由式3.4所表示，共振频率也是50kHz。图3.9中的光弹性调制器都对温度敏感，因此为了精确控制δ需要对温度进行精确的控制。

1.1.3 消偏器

当需要将偏振光转换为非偏振光的时候，要用到消偏器。光谱椭偏仪需要使用到光源，但是光源发出的光的振动方向并不是完全随机的，而是具有一定的偏振成分，这个现象被称为光源偏振。消偏器一般被用于消除这种光源偏振。此外，光栅光谱仪的衍射效率一般也表现出偏振依赖，探测器的灵敏度也可能随着偏振态的变化而变化。如果在光谱仪或探测器前安装消偏器，这种偏振依赖效应可以被消除。

图3.10所示为由双折射晶体制得的消偏器，其具有楔形的结构，光从这种消偏器不同厚度处通过。如式3.3，双折射晶体的厚度对相位差有影响，因此消偏器在垂直方向上引入了连续变化的相位差，所以通过消偏器的光变成了非偏振光。还有另外一种被称为Cornu棱镜的消偏器，这种消偏器采用了具有光学活性的石英[16]。

消偏器结构

1.1 琼斯矩阵

琼斯矩阵是一种可以对光学测量进行数学描述的矩阵方法。利用琼斯矩阵可以对偏振光的变化进行矩阵计算，即使在测量中有很多不同的光学元件，也可以利用琼斯矩阵进行计算。在对椭偏测试进行数学表达时，我们也可以用到琼斯矩阵。而在需要表示光的偏振态的时候，比如线偏振或椭圆偏振时，可以用到琼斯矢量。本节将重点介绍琼斯矢量和琼斯矩阵，这是我们理解椭偏仪测试的基础。

1.1.1 琼斯矢量

如前面所述，光的偏振态由分别平行于x轴和y轴振动的两列波叠加来表示（见3.1.2）。琼斯矢量由x和y方向的电场矢量所定义[17]。利用式3.1，琼斯矢量由下式给出

一般地，上面的方程消去exp{i(wt-Kz)}部分表示如下：

进一步简化如下

这里

在式3.8中，利用了式2.18中的转换，并且假定Ex0和Ey0为正。如果我们lion给相位差（δx-δy），式3.8可以写作如下形式

由式2.33，光强表示如下

在包括椭偏测试的常规光学测试中，仅仅需要考虑的是振幅和相位的相对变化。因此，后琼斯矩阵更普遍地表示为对光强进行归一化（I=1）后的形式。在这种情况下，平行于x方向和y方向的光分别被表示为如下

对于偏振角在45°的线偏振光，如果对光强进行归一化，表示的形式如下

而右旋圆偏振光和左旋圆偏振光的表示形式为

以上面的ER为例，通过简单的将δx=0，δy=π/2，Ex0=Ey0=1代入到式3.6中得到。根据欧拉公式[式2.17]可以得到[图片上传失败exp(iπ/2)=i。从图3.2我们知道对于ER有δy-δx=π/2。需要注意的是，当电磁波的相位表示为(Kz-wt+δ）这种形式时，式3.12中i的符号需要相反（见附件2）。假定δ_x=π/4，δ_y=π/2，E_x0=E_y0=1，椭圆偏振光可以表示如下

这种偏振态与图3.3中δ_x-δ_y=7π/4的情况对应。表3.1中列出了不同偏振状的琼斯矢量。表中的椭圆偏振和斯托克斯矢量将在第3.4节中加以介绍。

1.1.2 坐标系转换

在椭偏测试中，起偏器的起偏角或补偿器的光轴通常与x轴或y轴之间有一个旋转角度，因此如果我们用数学方法对x-y坐标进行旋转转换，就可以简化3.3.4节中的方程。图3.11所示为x-y坐标系到x’-y’坐标系旋转的方法，这里假定逆时针为x’-y’坐标系旋转的正方向。从图中可以看出，在x’-y’坐标系中，点P（Ex,Ey）表示为

这里，α为x’-y’坐标系的旋转角。用矩阵的形式式3.15可以表示为

从上式中可以得到坐标系旋转的矩阵为

上面的R（-α）表示当坐标系顺时针旋转α角度的矩阵，这可以用sin（-A）=sin（A）从R（α）简单地推导出来。假定（Ex，Ey）是图3.11的琼斯矢量，则该琼斯矢量（Ex，Ey）通过坐标旋转被转换为（Ex’，Ey’）。这样的用于对琼斯矢量进行转换的2×2矩阵被称为琼斯矩阵[17]。当对两个坐标系旋转两个不同的角度α和-β时，我们可以用下式

式3.18很容易通过加法定理得到（见附件1）。

偏振态也可以表示为左旋圆偏振和右旋圆偏振的矢量和。图3.12中为左旋和右旋圆偏振态的极坐标形式，图中左旋圆偏振态EL和右旋圆偏振态ER由下式给出

这里的|E|和δ分别代表当wt=0°时圆的尺寸和相位，在这种情况下琼斯矢量表示为

图3.11中的偏振态的极坐标系可以被转换为笛卡尔坐标系，转换的方程如下[2]

从式3.21中可以得到，从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换矩阵为

上面的矩阵可以通过表3.1中的琼斯矢量EL和ER联合推导而得，因为矩阵本质上表示矢量在一个新坐标系上面的投影。如果将EL=0和ER=0代入式3.22，可以得到

自然，式3.23表示了笛卡尔坐标系中的左旋圆偏振态。如果用转换矩阵的逆矩阵T-1，其被定义为TT-1=1，笛卡尔坐标系可以通过下式转换为最初的极坐标系

图3.13显示了用左旋圆偏振和右旋圆偏振叠加所表示的椭圆偏振态，图中的例子可以通过将Ex=1和Ey=exp(-iπ/4)(δx-δy=π/4)代入到式3.24中得到。如式3.21所示，将极坐标转换为笛卡尔坐标时，需要将振幅乘上。因此在图3.13中，圆偏振态的表示中有一个的系数。如图3.13（a）所示，当wt=0°时合成矢量位于（Ex,Ey）=(1,0.71)处。图3.13中所示的每一种圆偏振态均如图3.12中所表示。图3.13（b）展示了当图3.13（a）中的右旋/左旋圆偏振旋转90°后的偏振态，从图3.13可以证实椭圆偏振态可以由左旋圆偏振矢量和右旋圆偏振矢量的矢量和所表示。对于平行于x轴的线偏振光，可以简单地由EL=ER来表示。

1.1.3 光学元件的琼斯矩阵

光学元件对偏振态的转换也可以由琼斯矩阵来描述。起偏器和检偏器的琼斯矩阵表示如下

当起偏器或检偏器的透过轴与x轴平行时，上面的矩阵成立。如式3.16所示，琼斯矩阵的计算方法是用琼斯矩阵（光学元件）左乘琼斯矢量（入射光）。例如，假定线偏振光与起偏器的透过轴呈45°入射，出射光由下面的式子计算

从式3.26可以看出，因为起偏器只允许平行于x轴的光通过，所以Ey=0，而总光强（I=|E_x|²)变成入射之前的1/2。因此采用琼斯矩阵进行矩阵计算很容易确定最终的偏振态。当光路中有很多光学元件时，仅仅需要在琼斯矢量左边依次加上各元件的琼斯矩阵去进行计算。

补偿器的琼斯矩阵表示如下

上面的式子为快轴平行于x轴的补偿器的情况。在式3.27中，δ为式3.3所给出的相位差。因为我们采用式3.3中的|ne-no|来表示折射率差，所以这里的δ总是为正。根据3.1.1，当δ为正时，光波朝前传播。式3.27显示在x方向（快轴）振动的光在传播时没有发生任何变化，而在y方向（慢轴）振动的光有一个-δ的相位延迟。利用3.27式可以将由补偿器对偏振光的转换表示如下

由上面的计算，可以确定补偿器引入了一个相位差δ=π/2，将起偏角在45°的线偏振光转换为左旋圆偏振光。

类似的，光弹性调制器的琼斯矩阵表示如下

这里，δ为式3.4给出的相位差。表3.2列出了不同光学元件和坐标系旋转的琼斯矩阵。测试样品的琼斯矩阵将在4.1.3中介绍，穆勒矩阵将在3.4.4中介绍。

1.1.4 利用琼斯矩阵描述光学测量

图3.14中显示了用琼斯矩阵表示的一个简单的光学设备。在这个设备中，起偏器将光源发出的光转换为线偏振光，探测测量通过一个检偏器的光的光强。假定起偏器的透过轴在x-y平面内旋转了一个角度α，检偏器的透过轴平行于x轴。光源后的起偏器只允许沿其透过轴方向振动的光通过，因此对于光源的光，我们只考虑透过检偏器的部分（Ep）。如果选择合适的x’-y’坐标系，使起偏器的透过轴平行于x’，则相对于x轴，x’旋转了α。为了能够进行矩阵计算，从（x’-y’）到（x-y）之间的转换需要被考虑。图3.14中的坐标系旋转由R（-α）表示，因为从图3.11所知坐标系为顺时针旋转。如果对该设备应用琼斯矩阵，有

从式3.30可以看出，Ex=Epcosα，Ey=0。利用式3.10可以得到探测器测得的光强为

上式被称为马吕斯定律。图3.15中，为利用式3.31中光强随旋转角度α变化的规律所作曲线图，图中用Ep=1对光强进行了归一化。如图所示，当α=0时I=1，这暗示当起偏器和检偏器的透过轴平行时，光的传播没有受到任何干扰。而当α=90°时，光强变为0，因为此时起偏器和检偏器的透过轴相互垂直。当对起偏器进行180°旋转后，光强又重新变为1，这是因为起偏器的透过轴的上下部分是相同的，180°旋转和0°旋转等价。因此，完整的旋转起偏器一周，光强的变化为两个周期。在本例中，检偏器的透过轴平行于x轴固定。如果检偏器也旋转一个角度α，利用式3.18我们可以得到旋转矩阵R（α-β），这里-β为起偏器的旋转角度（顺时针）。因此，图3.14所示的光学装置中，光强由起偏器和检偏器之间的相对角度所决定[I=|E_P|²cos²(α-β）]。

image.png

1.2 斯托克斯参量

尽管琼斯矢量能很好地描述偏振光，但是它却不能够被用于描述非偏振光或部分偏振光。为了描述非偏振光和部分偏振光，斯托克斯参量（矢量）得到了应用。斯托克斯参量可以被用于对各种偏振态进行描述。在实际的椭偏测试中测试得到的也是这些斯托克斯参量。在斯托克斯参量表示中，光学元件由穆勒矩阵表示。本节中将重点介绍斯托克斯参量（矢量），穆勒矩阵和庞加莱球，并更详细地讨论偏振的状态。

1.2.1 斯托克斯参量的定义

斯托克斯参量可以由不同的方法去描述，如果采用偏振光的光强去定义，斯托克斯参量由如下四个参量（S0-3）所表示

这里，S0表示总光强，S1表示x方向（Ix）和y方向（Iy）上线偏振光的光强之差[图3.16（a）]，S2表示45°方向（I＋45°）与-45°方向（I-45°）上线偏振光光强之差[图3.16（b）]，S3表示右旋圆偏振光（IR）与左旋圆偏振光（IL）的光强之差[图3.16（c）]。因此，参量S1-3表示不同的偏振态之间的相对差异。当S1＞0时，光的偏振态趋向x轴，相反当S1<0时，光的偏振态趋向y轴。

式3.32中的斯托克斯参量也可以用电场表示。用电场描述的斯托克斯参量在椭偏仪测试数据表示中非常重要。应用式3.10，S0和S1表示为：

为了用电场表示S2，首先我们需要确定+45°与-45°方向上的线性偏振态的电场。通过琼斯矢量的坐标系转换可以得到

从式3.35中可以看出，E-45°和E＋45°由-45°旋转x-y坐标系计算得到。由式3.32c和式3.35可以得到

考虑到(E_xE_y^* )^*=E_x ^*E_y及式2.12，式3.36可以变为如下的形式

从2.1.1中可以知道，对于共轭复数有Re（C）=Re（C）, Im（C）=-Im（C）。从式3.9中有E_x ^*=E_x0exp[-i(δ_x-δ_y)]和E_y=E_y0。将其代入到式3.37中可以得到

这里Δ=δx-δy。注意到，exp(-iΔ）=cosΔ-isinΔ。
类似的，为了表示S3的电场，可以用式3.24计算EL和ER，得到如下式子

因此，S3由下式给出

应用式2.12，可以得到

最后，将E_x ^*=E_x0exp[-i(δ_x-δ_y)]和E_y=E_y0代入到3.41中，得到

1.2.2 庞加莱球

如果选取斯托克斯参量作为三维坐标的三个轴，偏振态可以由球面上的一个点来表示。图3.17显示了这样的球体，称之为庞加莱球。庞加莱球的尺寸表示了光的总光强。如果用庞加莱球与地球进行类比，赤道上所有的点均为线性偏振态，其偏振的方向随着赤道上面不同的位置而发生变化。如图3.17所示，当S1>0时偏振态偏向x轴，相反当S1<0时偏振态偏向y轴。对于在S2轴上的点，当S2＞0时为+45°的偏振态，而当S＜0时为-45°的偏振态。北极和南极上的点分别代表右旋圆偏振和左旋圆偏振态。从图3.17中可以看出，北半球上所有的椭圆偏振态和圆偏振态都是右旋的（顺时针），而南半球上则为左旋偏振（逆时针）。

image.png

庞加莱球上的点可以用（ε，θ）和（ψ，Δ）坐标系来表示，如图3.18所示。在（ε，θ）坐标系中，选取长轴（长度2a）和短轴（长度2b）作为椭圆偏振的坐标。主轴与Ex方向的角度被称为偏振角θ，而ε为tanε=b/a给出的椭圆率角。当ε=0时，偏振态表现为线偏振。在庞加莱球上，当ε=0时，只有θ发生变化。如果改变赤道上某点的纬度，θ将保持不变而ε发生变化。在（ε，θ）坐标系中，偏振态由两个角度（ε，θ）所表示，如图3.19所示。从图3.19可以清楚地看出，庞加莱球迷上的一点P（S1，S2，S3）表示如下

从式3.43可以看出，S1和S2由2θ计算而得，这暗示偏振光的上部与下部无法区分，180°的旋转即可完成一个光学旋转过程。而式3.43中的2ε来源于当ε=45°时a=b这样的一个事实。如果采用式3.43，我们可以计算从斯托克斯参量中计算出（ε，θ）的数值

如图3.18（b）所示，如果采用（Ex,Ey）坐标系，可以表示表示为（ψ，Δ）坐标系。这里ψ和Δ分别表示振幅比的夹角（tanψ=Ex0/Ey0）和相位差（Δ=δx-δy）。从图3.18（b）可以看出

因此，利用式3.9和Δ=δx-δy，可以重写琼斯矢量如下

表3.1中所列的椭圆偏振态由上式可以表示。将式3.45代入式3.34，式3.38和式3.42中可以得到

在式3.47中，在转换过程中采用了倍角公式（见附件1）。表3.3列出了不同物理参数表示的斯托克斯参量，如表所示，通过对S0进行归一化，得到由（ε，θ）和（ψ，Δ）表示的斯托克斯参量。

1.2.3 部分偏振光

对于完全偏振光，光表示为特定的偏振态，而对于非偏振光，光的偏振态完全随机。而对于部分偏振光而言，光由偏振光和非偏振光混合而成。图3.20显示了由庞加莱球表示的上述不同的情况。在庞加莱球上，完全偏振光表现为球面上的一点P，与完全偏振光不同的是部分偏振光和非偏振光的偏振态随着时间的变化而变化，因此部分偏振光的偏振态由分布于P点附近的大量点组成，而非偏振光由球面上完全随机的点组成。部分偏振光和非偏振光由庞加莱球上面在特定时间内所有点的平均值的统计分布来描述[2]。对于非偏振光，偏振光偏振态由点S1=S2=S3=0表示。对于如图3.10所示的消偏器，因为非偏振光是通过偏振光的空间变化得到的，而不是通过时间变化得到的，因此这样的消偏方法一般称为准消偏。

在完全偏振光中，点S1=S2=S3=0到P点的距离为总光强（S0），有如下的方程

利用表3.3中电场C的值，可以得到如下的关系

如果对光强进行归一化（S0=1），可以得到

上式表示了半径为1的球体，因此完全偏振光的偏振态表示为半径为1的庞加莱球上面的一个点。

对于部分偏振光，可以发现

这种情况下，偏振度由下式表示

显然，从式3.50和3.52可以看出完全偏振光的偏振度为p=1，而非偏振光（S1=S2=S3=0）的偏振度为p=0。在实际的椭偏测试中，我们总是假定从样品反射的光为完全偏振光。然而，从样品反射的光常常是部分偏振光，有时候，样品对于入射光的去偏振效应对测量有着很大的影响[12,18]，根据不同类型的设备影响也有所不同。我们将在4.4.4中详细地描述这种去偏振效应。

1.2.4 穆勒矩阵

将斯托克斯参量表示为矢量的形式称为斯托克斯矢量，由下式给出

表3.1列出了不同偏振态的归一化斯托克斯矢量（S0=1）。例如x方向的线偏振态表示为S0=S1=1，而y方向的线偏振态表示为S0=1，S1=-1。表3-1中的椭圆偏振态表示为表3-3中的（ψ，Δ）坐标系。斯托克斯矢量能够描述自然光（非偏振光），如表3-1中所示。对于部分偏振光，可以表示如下

这里p表示偏振度。从式3.54可以看出s₁²+s₂²+s₃²=p，因为s₀=1，所以式3.52仍然成立。

穆勒矩阵是一个4×4的矩阵，可以用来对斯托克斯矢量进行转换。当出来完全偏振光时，琼斯矩阵可以转换为穆勒矩阵（见附件4）。因此，从表3.2中可以看出，穆勒矩阵与相对应得琼斯矩阵具有类似得矩阵元素。然而，穆勒矩阵使数学描述消偏器成为可能。穆勒矩阵得运算与琼斯矩阵得运算类似，例如当描述与起偏器的透过轴x呈45°起偏的线偏振光时，从起偏器出射的偏振光可以由下式计算得到

可以看出只有ｘ方向的光能够透过起偏器，而总光强变为初始光强的二分之一。而当４５°起偏的线偏振光通过相位差为π／２的补偿器时，可以得到

因此，初始光被转换为左旋圆偏振光，如图３.８所示。３.３.４中的马吕斯定律可以用穆勒矩阵表示如下

在式３.５７中，穆勒矩阵采用表表３.２中的符号表示，入射光采用表３.１中所示的自然光的斯托克斯矢量表示。利用附件１中的等式可以得到

上式同式３.３１的结果相同，其系数１／２表示自然光（Ｓ０）的强度在通过起偏器后变为初始强度的二分之一，这也与式３.５５类似。

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