凸优化
机器学习中常用到数学优化技巧，最常见的优化就属凸优化了，本文参考Stanford CS229 Machine Learning的教学资料：http://cs229.stanford.edu/section/cs229-cvxopt.pdf，对凸优化问题的初步认识，以下是几个重要的概念笔记。
几何意义为，集合C中任意两点间的线段仍然在C中，其示意图如下：
数学定义，对任意x1,x2ϵCϵC,0≤Θ≤10≤Θ≤1，都有
常见的凸集有，n维实数空间；一些范数约束形式的集合；仿射子空间；凸集的交集；n维半正定矩阵集。
几何意义为，函数任意两点连线上的值大于对应自变量处的函数值，示例图如下：
数学定义，如果函数定义域(dom f)是凸集，且对于任意x,yϵdomfx,yϵdomf和任意0≤Θ≤10≤Θ≤1，有
f(Θx+(1−Θ)y)≤Θf(x)+(1−Θ)f(y).f(Θx+(1−Θ)y)≤Θf(x)+(1−Θ)f(y).
常见的凸函数有，指数函数族；非负对数函数；仿射函数；二次函数；常见的范数函数；凸函数非负加权的和等
研究定义于凸集中的凸函数最小化问题。它要求目标函数是凸函数，变量所属集合是凸集的优化问题。或者目标函数是凸函数，变量约束函数是凸函数（不等式），或仿射函数（等式约束）
数学定义
常见的凸优化问题有，线性规划、二次规划、二次约束的二次规划、半正定规划。
在约束最优化问题中，常常利用拉格朗日对偶性将原始问题转换成对偶问题，通过解对偶问题而得到原始问题的解。这样做的优点是对偶问题往往更容易求解。
Lagrange对偶的基本思想是在目标函数中考虑上图中的约束条件，也就是添加约束条件的加权和，得到增广的目标函数。定义上面问题的Lagrange函数
如果f(x)=a·x+b，aϵRn,bϵR,xϵRnaϵRn,bϵR,xϵRn，则f(x)为仿射函数。
