将军饮马——求最短路径

       两点之间，线段最短，再简单不过了？只不过隐藏在一些图里就不一定了，不过，在进入正题前我先澄清一下，将军饮马的原型，不是喂马，而是将军如厕！呵呵，我想有许多人都想把这匹马宰了，只不过这匹马只是为了是名字好听而加上去的！闲话说到此，我们言归正传。

目录：

一、两定一动

二、一定两动

三、两定两动

四、定长动线段

一、两定一动

模型1.下图，是一切将军饮马的基础——两点之间，线段最短。如下图，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。

在直线l上找一点P，使PA+PB最小

很简单，连接AB，交l于点P，这就出来了。但是变形后就不同了。

模型2原题

模型2.如图，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。这道题和两点之间线段最短唯一不同的就是A、B在了同一边，那我们就把A或B点挪到对面不就行了？我们只需让B以直线l为轴做一个轴对称就好了。轴对称出的点B‘只需与A相连即可（别忘了哪一段要用虚线！）我们从图中不难可以证出两个三角形的全等，所以BP等于BP’，所以P点即为所求。

如图，在直线l上找一点P，使PA+PB最小

二、一定两动

模型3、4原题

模型3.如图，点P在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点N，在OA边上求作一点M，使△PMN的周长最短。这道题的周长最短就是PM+PN+MN的距离最短，我们可以把它看成两个模型1，一个得出PM，一个得出PN，连接MN即可。

如图，点P在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点N，在OA边上求作一点M，使△PMN的周长最短

模型4.如图，点P在锐角∠AOB的内部，在OB上求作一点N，OA上求作一点M，使PM+PN最小。和模型3相比，他只是少了PN一段，OA上一点到OB的距离要想变小，肯定是往OB上做垂了，所以只要对称得出点P的位置做垂就行了。

如图，点P在锐角∠AOB的内部，在OB上求作一点N，OA上求作一点M，使PM+PN最小

三、两定两动

模型5原题

模型5.如图，点P、Q在锐角∠AOB的内部，在OB边求作点N，OA边求作点M，使PM+MN+NQ最小。这里和模型3唯一的区别就是多出一个点Q，我们把这两个点想做一个点，分别向两边做对称，得到P'和Q'，连接之后（两点之间线段最短）与OA、OB的交点便是M、N了。

如图，点P、Q在锐角∠AOB的内部，在OB边求作点N，OA边求作点M，使PM+MN+NQ最小

四、定长动线段

模型6原题

模型6：如图，线段MN在直线l上且长为10米，求AM+MN+BN的最小值。这道题只需要将A向右平移10米后到A'，连接A'B得到点N，再将点N向左平移10米得到点M，连接AM、BN即可。

如图，线段MN在直线l上且长为10米，求AM+MN+BN的最小值

模型7：

模型7原题  

A，B与直线l的位置如图所示，在直线l上找到M、N两点，且MN=10米，M在N左面，使四边形ABMN的周长最短。此题的基础是模型2，先将A对称下来，在像模型6一样平移再连线即可。

A，B与直线l的位置如图所示，在直线l上找到M、N两点，且MN=10米，M在N左面，使四边形ABMN的周长最短。

模型8：

模型8原题

在直线l1和直线l2上分别找M、N点，且MN⊥l2，使AM+MN+NB的取值最小。此题和模型7其实是一样的，首先，MN是定值，不用考虑，所以只需寻找AM+NB。先将A向下平移MN的距离，得到A'，再连接A'B，交l2于点N，进而可得点M，连接AM、MN、NB即可

在直线l1和直线l2上分别找M、N点，且MN⊥l2，使AM+MN+NB的取值最小。

致此，常用的将军饮马模型基础，便没了。

谢谢！