近世代数理论基础15：群的直积

2019-02-21 本文已影响43人溺于恐

群的直积

群的直积是由已知群出发构造新的群的常用方法

外直积

设 $G_1,G_2,\cdots,G_n$ 为群,积集合 $G=G_1\times G_2\times \cdots\times G_n$$=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)|a_i\in G_i,1\le i\le n\}$

在G中按分量相乘的形式引入G的一个乘法：

$(a_1,a_2,\cdots,a_n)(b_1,b_2,\cdots,b_n)=(a_1b_1,a_2b_2,\cdots,a_nb_n)$

易证G关于上述乘法构成一个群

令 $e_1,e_2,\cdots,e_n$ 分别为 $G_1,G_2,\cdots,G_n$ 的单位元

令 $e=(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ , $\forall a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in G$ ,其中 $a_i\in G_i$

$ea=(e_1,e_2,\cdots,e_n)(a_1,a_2,\cdots,a_n)$

$=(a_1,a_2,\cdots,a_n)=a$

$=(a_1,a_2,\cdots,a_n)(e_1,e_2,\cdots,e_n)=ae$

故e为G的单位元

类似可证 $\forall a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in G$ , $a$ 的逆元为 $a^{-1}=(a_1^{-1},a_2^{-1},\cdots,a_n^{-1})$ ,其中 $a_i^{-1}$ 为 $a_i$ 在 $G_i$ 中的逆元

定义：设 $G_1,G_2,\cdots,G_n$ 为群,则 $G=G_1\times G_2\times \cdots\times G_n$ 关于上述定义的乘法构成的群称为 $G_1,G_2,\cdots,G_n$ 的外直积

例：设 $G_1=(Z/6Z,+)$ , $G_2=(Z/8Z,+)$ ,则 $G=G_1\times G_2$ 是一个 $|G|=|G_1\times G_2|=48$ 阶有限群,其中 $([0],[0])$ 为单位元

$G_1$ 中 $[3]$ 的逆元为 $[3]$ , $G_2$ 中 $[2]$ 的逆元为 $[6]$ ,故 $([3],[2])$ 在G中的逆元为 $([3],[6])$

$G_1$ 是6阶循环群, $G_2$ 是8阶循环群, $G=G_1\times G_2$ 不是48阶循环群, $\forall [a]\in G_1$ ,有 $6[a]=[0]$ , $\forall [b]\in G_2$ ,有 $8[b]=[0]$ ,故 $24([a],[b])=(24[a],24[b])=([0],[0])$ ,从而 $([a],[b])$ 在G中的阶是24的因数,不可能为48

注：

1. $G=G_1\times G_2\times \cdots \times G_n$ 是交换群 $\Leftrightarrow$ 每个群 $G_i$ 都是交换群

2.在群 $G=G_1\times G_2\times \cdots\times G_n$ 中,对 $1\le i\le n$ ,令 $G^{(i)}=\{(e_1,e_2,\cdots,e_{i-1},a_i,e_{i+1},\cdots,e_n)|a_i\in G_i\}$ ,则

(1) $G^{(i)}$ 是G的正规子群

(2) $G^{(i)}$ 同构于群 $G_i$

(3) $G=G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(n)}$

(4) $\forall 1\le i\le n$ ,有 $G^{(i)}\cap G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(i-1)}G^{(i+1)}\cdots G^{(n)}=\{e\}$

证明：

$(1)\forall g\in G,h\in G^{(i)}$

$g=(a_1,a_2,\cdots,a_n),h=(e_1,e_2,\cdots,e_{i-1},h_i,e_{i+1},\cdots,e_n)$

$\therefore g^{-1}hg=(a_1^{-1}e_1a_1,\cdots,a_{i-1}^{-1}e_{i-1}a_{i-1},\cdots,a_i^{-1}h_ia_i,a_{i+1}^{-1}e_{i+1}a_{i+1},\cdots,a_n^{-1}e_na_n)$

$=(e_1,e_2,\cdots,e_{i-1},a_i^{-1}h_ia_i,e_{i+1},\cdots,e_n)\in G^{(i)}$

$\therefore G^{(i)}\lhd G$

$(2)建立映射f:G_i\to G^{(i)}$

$\forall a_i\in G_i,f(a_i)=(e_1,e_2,\cdots,e_{i-1},a_i,e_{i+1},\cdots,e_n)$

$易证f为同构映射$

$(3)\because \forall 1\le i\le n,G^{(i)}为G的子群$

$\therefore G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(n)}\subseteq G$

$又\forall a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in G$

$其中a_i\in G_i$

$令a^{(i)}=(e_1,e_2,\cdots,e_{i-1},a_i,e_{i+1},\cdots,e_n)$

$则a^{(i)}\in G^{(i)}$

$且a=a^{(1)}a^{(2)}\cdots a^{(n)}\in G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(n)}$

$\therefore G=G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(n)}$

$(4)\forall a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in G^{(i)}\cap G^{(1)}G^{(2)}\cdots G^{(i-1)}G^{(i+1)}\cdots G^{(n)}$

$其中a_i\in G_i$

$由a\in G^{(i)}$

$j\neq i时有a_j=e_j$

$\because j\neq i时每个G^{(j)}中元的第i个分类为单位元e_i$

$由群中集合乘积的定义$

$即AB=\{ab|a\in A,b\in B\}$

$及G中乘法的定义$

$a的第i个分量a_i=e_i$

$\therefore a=(e_1,e_2,\cdots,e_n)=e为群G的单位元\qquad\mathcal{Q.E.D}$

内直积

定义：设 $H_1,H_2,\cdots,H_k$ 为群G的正规子群,若满足条件：

1. $G=H_1H_2\cdots H_k$

2. $\forall 1\le i\le n$ ,有 $H_i\cap H_1H_2\cdots H_{i-1}H_{i+1}\cdots H_k=\{e\}$

则称G为 $H_1,H_2,\cdots,H_k$ 的内直积,记作 $G=H_1\times H_2\times \cdots\times H_k$

注：若 $G=G_1\times G_2\times \cdots\times G_n$ 是 $G_1,G_2,\cdots,G_n$ 的外直积,则 $G=G^{(1)}\times G^{(2)}\times \cdots\times G^{(n)}$ 的内直积

内直积与外直积

定理：若 $H=H_1\times H_2\times\cdots\times H_k$ 为内直积,则存在群 $G_1,G_2,\cdots,G_k$ ,使得

1. $\forall 1\le i\le k$ ,有 $G_i\cong H_i$

2.H与外直积 $G_1\times G_2\times \cdots \times G_k$ 同构

证明：

$\forall i\neq j,a_i\in H_i,a_j\in H_j$

$\because a_ia_ja_i^{-1}a_j^{-1}=a_i(a_ja_i^{-1}a_j^{-1})=(a_ia_ja_i^{-1})a_j^{-1}$

$\therefore a_ia_ja_i^{-1}a_j^{-1}\in H_i,a_ia_ja_i^{-1}a_j^{-1}\in H_j$

$由内直积的定义$

$H_i和H_j为H的正规子群$

$且H_i\cap H_1H_2\cdots H_{i-1}H_{i+1}\cdots H_k=\{e\}$

$又H_j\subset H_1H_2\cdots H_{i-1}H_{i+1}\cdots H_k$

$\therefore H_i\cap H_j=\{e\}$

$即a_ia_ja_i^{-1}a_j^{-1}=e$

$\therefore a_ia_j=a_ja_i$

$即i\neq j时,H_i与H_j中元的乘法可以交换$

$由内直积的定义$

$\forall a\in H,\exists a_i\in H_i,使a=a_1a_2\cdots a_k$

$若\exists b_i\in H_i,1\le i\le k,使a=b_1b_2\cdots b_k$

$由H_i与H_j中元的乘法可交换$

$\forall 1\le s\le k$

$a_sb_s^{-1}=(a_1^{-1}b_1^{-1})\cdots (a_{s-1}^{-1}b_{s-1})(a_{s+1}^{-1}b_{s+1})\cdots (a_k^{-1}b_k)$

$由内直积的定义$

$a_sb_s^{-1}\in H_s\cap H_1H_2\cdots H_{s-1}H_{s+1}\cdots H_k=\{e\}$

$\therefore a_s=b_s$

$即群H中的任一元可唯一地写为H_1,H_2,\cdots,H_k中元的乘积$

$\forall 1\le i\le k,令G_i=H_i$

$建立群H到外直积G=G_1\times G_2\times \cdots\times G_k的映射$

$\varphi:H\to G\\\quad a=a_1a_2\cdots a_k\mapsto (a_1,a_2,cdots,a_k)$

$易证\varphi是一个群同构映射\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：模6的剩余类加群 $Z/6Z=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5]\}$ ,令 $H_1=\{[0],[3]\}$ , $H_2=\{[0],[2],[4]\}$

$H_1+H_2=\{[0]+[0],[0]+[2],[0]+[4],[3]+[0],[3]+[2],[3]+[4]\}$

$=\{[0],[2],[4],[3],[5],[1]\}=Z/6Z$

且 $H_1\cap H_2=\{[0]\}$

由内直积的定义, $Z/6Z=H_1\times H_2$

$H_1\cong Z/2Z,H_2\cong Z/3Z$

$Z/6Z$ 同构于外直积 $Z/2Z\times Z/3Z=\{([0],[0]),([0],[1]),([0],[2]),([1],[0]),([1],[1]),([1],[2])\}$

同构映射如下

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}Z/6Z&[0]&[1]&[2]&[3]&[4]&[5]\\ \hline 内直积&[0]+[0]&[3]+[4]&[0]+[2]&[3]+[0]&[0]+[4]&[3]+[2]\\ \hline 外直积&([0],[0])&([1],[2])&([0],[1])&([1],[0])&([0],[2])&([1],[1])\\ \hline \end{array}$

近世代数理论基础15：群的直积

群的直积

外直积

内直积

内直积与外直积

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