連續自然數之和的秘密（2）

續上文。上文得出了這樣一些結論。

• 大於2的任意奇數均可寫成兩個連續自然數之和的形式，偶數則不可以。
• 可被奇數m整除的任意數可寫成m個連續整數之和的形式。
• 滿足x % m = m/2且m爲偶數的x可以寫爲m個連續自然數之和的形式。
• 任意自然數x可能的最長序列個數爲 floor((sqrt(8x+1)-1)/2)。

通過寫程序發現，有些數是找不到這樣一個序列的。它們是2的冪數。

數論中有講到，任意偶數可分解爲質因數之積，即 2n = 2^i * 3^j * 5^k * ... ，觀察發現：

• 任意非2的冪數的偶數（>2），均有奇數質因數，所以均有可能的序列。
• 任意2的冪數並無奇數質因數，即 j,k, ... = 0，故不能被任意奇數整除，因此不能寫成奇數個連續自然數之和。
• 任意2的冪數也不能寫成偶數個連續自然數之和。

最後一條有必要展開一下，

2^n % m = m/2
2^n % (2k) = k
2^n = 2k*j + k = k * (2*j + 1)

其中，k,j 皆爲任意自然數，顯然2的冪數不能有奇數質因數，故不能寫成偶數個連續自然數之和，至此，也就解釋了2的冪數找不到這些序列的原因。