2018-08-18

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第二章

连续时间系统的时域分析（上）

1、建立和求解线性微分方程的过程
- 建立数学模型
  - KCL
  - KVL
  - 线性非时变系统的微分方程
    - $\frac{d^n}{dt^n}r(t) + a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}r(t) + ...+a_1\frac{d}{dt}r(t)+a_0r(t)$
    - $= b_m\frac{d^m}{dt^m}e(t) +b_{m-1}\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}e(t)+...+b_1\frac{d}{dt}e(t) +b_0e(t)$
    - 初始条件： $r^{n-1}(0),r^{n-2}(0),...,r(0)$ 是几阶微分方程就需要几个初始条件
- 求解
  - 1、时域法
    - 将响应分为通解和特解
    - e.g. $r''(t) + 3r'(t) - 4r(t) = e(t)$
    - $e(t) = e^{-2t}$
    - $r(0) = 1,r'(0) = 1$
    - $\lambda^2 + 3\lambda - 4 = 0$ 特征方程
    - $\lambda_1 = 1,\lambda_2 = -4$ 特征根
    - $r(t) = C_1e^t + C_2e^{-4t}$ 通解
    - $r(t) = A e^{-2t}$ 特解(猜测)
    - $r(t) = C_1e^t + C_2e^{-4t}+ A e^{-2t}$
    - $C_1 + C_2 +A = 1$
    - $C_1 + -4C_2 - 2A = 1$
    - $(C_1e^t + C_2e^{-4t} + Ae^{-2t})''+3(C_1e^t + C_2e^{-4t} + Ae^{-2t})'-4(C_1e^t + C_2e^{-4t} + Ae^{-2t}) = e^{-2t}$
  - 通解 - 自由响应
  - 特解 - 受迫响应
  - 2、卷积法(算子法)
    - 将响应分为两部分
      - 零输入响应:系统在没有输入激励的情况下,仅仅由系统的初始状态引起的响应 $r_{zi}(t)$
      - 零状态响应:(没有初始储能)的条件下,仅仅由输入信号引起的响应 $r_{zs}(t)$
      - 方程1：零状态响应:（经典发）
      - $\frac{d^n}{dt^n}r_1(t) + a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}r_1(t) + ...+a_1\frac{d}{dt}r_1(t)+a_0r(t)$
      - $= b_m\frac{d^m}{dt^m}e(t) +b_{m-1}\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}e(t)+...+b_1\frac{d}{dt}e(t) +b_0e(t)$
      - 初始条件： $r^{n-1}_1(0) = r^{n-2}_1(0) = 0,...,r_1(0) = 0$
      - 方程2：零状态响应：（卷积积分法，激励信号是一个有始信号）
      - $\frac{d^n}{dt^n}r_2(t) + a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}r_2(t) + ...+a_1\frac{d}{dt}r_2(t)+a_0r(t) = 0$
      - 初始条件： $r^{n-1}_2(0) =r^{n-1}(0) ,r^{n-2}_2(0) =r^{n-2}(0),...,r_2(0) = r(0)$
      - $r(t) = r_1(t) + r_2(t)$ 方程的解
2、微分算子
- $p = \frac{d}{dt},p^n = \frac{d^n}{dt^n},\frac{1}{p} = \int_{-\infty}^{t}()dt$ 变限积分
- 电感电容的伏安特性
  - $U_L = L \frac{d}{dt}i_L(t) = L\cdot P\cdot i_L$
  - $U_C = \frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i_C(t)dt = \frac{1}{C\cdot P}\cdot i_C$
  - 即可以将电感和电容记成阻值为 $L\cdot P,\frac{1}{C\cdot P}$ 的电阻
- 利用算子可以将微分方程表示为：
- $p^nr(t) + a_{n-1}p^{n-1}r(t) + ...+a_1pr(t)+a_0r(t)$
- $= b_mp^me(t) +b_{m-1}p^{m-1}e(t)+...+b_1pe(t) +b_0e(t)$
- 提取公因子,可以将上式化简为：
- $(p^n +a_{n-1}p^{n-1}+...+a_1p + a_0)r(t) =$
- $(b_mp^m + b_{m-1}p^{m-1} + ...+b_1p+b_0)e(t)$
- $r(t) = \frac{(b_mp^m + b_{m-1}p^{m-1} + ...+b_1p+b_0)}{(p^n +a_{n-1}p^{n-1}+...+a_1p + a_0)}e(t)$
- $H(p) =\frac{(b_mp^m + b_{m-1}p^{m-1} + ...+b_1p+b_0)}{(p^n +a_{n-1}p^{n-1}+...+a_1p + a_0)} = \frac{N(p)}{D(p)}$
- $r(t) = H(p) e(t)$
- 微分方程的一种简单记法,并不代表可以这样计算
- 算子运算法则：
  - $mp + np = (m+n)p,m,n$ 为任意整数
  - $p^mp^n = p^{m+n},m,n$ 同为任意正整数(负整数)
  - $p\frac{1}{p} = 1$
  - 注：1、 $\frac{1}{p}p$ 不一定等于1-微分和积分的次序不能交换
  - 2、如果 $px(t) = py(t)$ ,不一定能够推出 $x(t) = y(t)$ ，只能得到 $x(t) = y(t) + C$
3、零输入响应求解
- - 经典解法
    - 1、确定系统的自然频率,令 $D(p) = 0$ ,将 $p$ 看成一个代数量,解得其 $n$ 个特征根 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$
    - 2、确定零输入响应的形式解
      - 1）、如果没有重根
        
        $r_{zi}(t) = C_1e^{\lambda_1t} + C_2e^{\lambda_2t} +...+ C_ne^{\lambda_nt} = \sum_{i = 1}^n C_ie^{\lambda_it}$
        
        其中 $C_1.C_2,...,C_n$ 为待定常数
      - 2）、如果有重根，假设 $\lambda_1$ 是一个 $k$ 重根，即 $\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_k$ 则形式解为：
      - $r_{zi}(t) = C_1e^{\lambda_1t} +C_2te^{\lambda_2t} +C_3t^2e^{\lambda_1t}+...+C_k t^{k-1} e^{\lambda_1t} + C_{k + 1}e^{k-1}t + ...+C_ne^{\lambda_nt}$
      - $= \sum_{i = 1}^{k}C_it^{i - 1}e^{\lambda_1t} + \sum_{i = k +1 }^{n}C_ie^{\lambda_it}$
    - 3、根据初始条件,确定待定系数.一般的初始条件为已知零时刻的响应及各阶导数,带入形式解中就可以确定待定系数.
      - $r(0) = C_1 +C_2 +...+C_n$
      - $r'(0) = \lambda_1C_1 +\lambda_2C_2 +...+\lambda_nC_n$
      - $r''(0) = \lambda_1^{2}C_1 +\lambda_2^{2}C_2 +...+\lambda_n^{n}C_n$
      - ......
      - $r^{n-1}(0) =\lambda_1^{n-1}C_1 +\lambda_2^{n-1}C_2 +...+\lambda_{n}^{n-1}C_n$
      - 或者记为矩阵的形式
      - $\begin{bmatrix} r(0)\\ r'(0)\\r''(0)\\...\\r^{(n-1)}(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 &...& 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 &...& \lambda_n\\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 &...& \lambda_n^2\\ ... & ...&...&...&...\\ \lambda_n^{n-1} & \lambda_n^{n-1} & \lambda_n^{n-1} &...& \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_1\\ C_2\\C_3\\...\\C_n \end{bmatrix}$
4、零状态响应（利用线性系统的齐次和叠加原理）
- 将信号分解为一系列"标准统一”的子信号之和(或积分)
- 求线性系统对各个子信号的响应
- 将各个子信号的响应相叠加,从而得到系统对激励信号的响应
5、奇异函数
- 找子信号
  - 完备性：任意函数都可以分解为该子信号的和
  - 简单性：容易求得子信号的响应
  - 相似性：不同子信号的响应具有内在联系
- 奇异函数：阶跃函数，冲击函数
  - 阶跃函数：
    - 任意函数乘以 $\varepsilon(t),t<0$ 部分等于零，成为有始函数， $u(t)$ 表示也可以
  - 冲激函数：方波或者三角波的极限
    - 1）
      - 1、只在 $t = 0$ 处非零值，其他各处都为零
      - 2、 $\delta(t),\varepsilon(t)$ 互为微分和积分 $\varepsilon(t) = \int_{-\infty}^{t}\delta(t)dt$
      - 3、 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt = 1$
      - 4、 $\delta(t) = \delta(-t)$
      - 5、 $\delta(t)f(t) = \delta(t)f(0)$
      - 或者 $\delta(t-t_0)f(t) = \delta(t-t_0)f(t_0)$
      - 6、 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t)dt = f(0)$
      - $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-t_0)\delta(t)dt = f(t_0)$ 冲击函数的取样特性
      - 7、 $\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$
      - 冲击函数的图形表示方法：位置和强度
    - 2）定义分配函数
      - 通过函数对另外一个函数的作用来定义这个函数，利用冲激函数的抽样特性作为冲激函数的定义，即对于任意的函数 $f(t)$ ，都满足：
        $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt = f(t_0)$
5、信号的时域分解（分割求近似，求和取极限）
- 1、将任意信号近似表示为多个阶跃函数之和，各个子信号为：
  - $f_0(t) = f(0)\varepsilon(t)$
  - - $= \frac{f(\Delta t)- f(0)}{\Delta t}\varepsilon(t - \Delta t)\Delta t$
  - - $\frac{f(k\Delta t) - f((k - 1)\Delta t)}{\Delta t}\varepsilon(t-k\Delta t)\Delta t$
  - 总和为：
  - - $= f(0)\varepsilon(t) + \frac{f(\Delta t)- f(0)}{\Delta t}\varepsilon(t - \Delta t)\Delta t + \frac{f(2\Delta t)- f(\Delta t)}{\Delta t}\varepsilon(t - 2\Delta t)\Delta t + ... + \frac{f(k\Delta t)- f((k-1)\Delta t}{\Delta t}\varepsilon(t - k\Delta t)\Delta t + ...$
    - 令 $\Delta t\to d\tau$ (或0)则
    - $\frac{f(k\Delta t)- f((k-1)\Delta t)}{\Delta t}\varepsilon(t - k\Delta t)\Delta t = f'(k\Delta t)\varepsilon (t - k\Delta t)$
  - $f(t) = f(0)\varepsilon (t) + \int_0^tf'(\tau)\varepsilon(t - \tau)d\tau$
  - 如果在处连续可导,则：
    - $f(t) = \int_{0}^{t}f'(\tau)\varepsilon(t-\tau)d\tau$
- 2、将任意信号近似表示为多个冲激函数之和，各个子信号为：
  - 将任意函数近似表示为一系列矩形脉冲函数之和:
    - - $f_0(t) = f(0)u_{\Delta t}(t)$
      - $f_1(t)= f(\Delta t)u_{\Delta t}(t - \Delta t)$
      - $f_2(t) = f(2\Delta t)u_{\Delta t}(t - 2\Delta t)$
      - $f_k(t) =f(k\Delta t)u_{\Delta t}(t - k\Delta t)$
    - - $= f(0)u_{\Delta t}(t)+ f(\Delta t)u_{\Delta t}(t - \Delta t)+...+f(k\Delta t)u_{\Delta t}(t - k\Delta t)$
      - $= f(0)\frac{u_{\Delta t}(t)}{\Delta t}\Delta t + f(\Delta t)\frac{u_{\Delta t}(t-\Delta t)}{\Delta t}\Delta t +...+f(k\Delta t)\frac{u_{\Delta t}(t-k\Delta t)}{\Delta t}\Delta t$
      - $= \sum_{k =0}^\infty f(k\Delta t)\frac{u_{\Delta t}(t-k\Delta t)}{\Delta t}\Delta t$
        
        令 $\Delta t\to d\tau$ (或0)
        
        $f(t) = \int_{0}^{\infty}f(\tau)\delta(t - \tau)d\tau$
        
        $\frac{u_{\Delta t}(t-k\Delta t)}{\Delta t}\to \delta(t - k\Delta t)$ 方波脉冲的定义解释（面积为1的方波脉冲）
    - $f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(t - \tau)d\tau$ 更具有普遍性
    - $f(t) = \int_{0}^{t}f(\tau)\delta(t - \tau)d\tau$

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