同等学力申硕计算机综合考试

2009年同等学力申硕计算机综合试题解析--数学基础

2020-10-18 本文已影响0人旋风竹影

声明：本套试题的填空题和计算题第3题的解析补充是本人自己做的，其他的答案来自原题评分标准，如发现答案有错误或者不够准确请及时给我留言，如需转载请表明出处。感谢所有提出意见和建议，以及帮助过我的朋友。如果觉得还行，欢迎点赞转发，谢谢！

第一部分数学基础课程

（共40 分）

一、用逻辑符号形式化下列语句（每小题 2 分，共 4 分）

1．并非一切事情都能由机器来完成。

解析：设 W(x): x 是事情；M( y): y 是机器；C(x, y)：x 能由 y 来完成。原句可形式化为以下两

种形式之一：

（1） $┐\forall x \exists y (W(x) \land M(y) \rightarrow C(x,y))$

（2） $\exists x \forall y (W(x) ∧ M(y) ∧┐C(x, y))$

说明：写出上述任一种形式均可得满分。但如缺少设置的内容，则只给 1 分。

2．存在一个唯一的偶素数。

解析：设 P(x)：x 是素数； E(x)：x 是偶数，T(x, y)：x = y；则原句可形式化为以下两种形

式之一：

（1） $(\exists x)(P(x)∧E(x)∧( \forall y)(P(y)∧E(y) \rightarrow T(x, y)))$

（2）或直接设：P(x)：x 是偶素数，T(x, y)：x = y；则原句可形式化为：

$(\exists x)(P(x)∧(\forall y)(P(y) \rightarrow T(x, y)))$

说明：写出上述任一种形式均可得分。但如缺少设置的内容，则只给 1 分。

如果写成 $\exists！ x P(x)$ 只给 1 分。

二、填空题（前两小题每题 2 分，后一小题 3 分，共 7 分）

1．5 位男生和 5 位女生排成男女相间的一列，有__ $2*(5!)^2$ ______种不同的排法。

解析：把男生和女生分成两排，分别全排列有5!种排列，此时有排列有 $(5!)^2$ ,接着将男生和女生按序相间组成一排，此时有两种排法（男生排在女生前面或者后面），因此总排法有 $2*(5!)^2$

2．具有 n (n...1)个顶点的连通图至少有__n-1______条边。

解析：【定理（离散数学教程7.9）】设G为n阶无向图，若G是连通图，则G的边数 $m \geq n-1$

3．一个大正方形是由四个相同的小正方形构成，如图 1 所示，用黑白两种颜色对 4 个小正方形着色，如果经过某种旋转，颜色能完全吻合的方案认为是相同的，则有____6____种不同的方案。

图1

解析：先选择全白或者全黑就有2种，选1个白色和3个黑色以及反色这种组合有2种。最后就两黑两白的组合有2种，因此总共有6种。

三、解答题（前两小题每题 5 分，第 3 小题 7 分，第 4 小题 6 分，共 23 分）

1．求由 2 个 0、3 个 2 和 3 个 5 构成的八位数共有多少个。

解析：设所求的个数为 x ，则由 2 个 0、3 个 2 和 3 个 5 构成的首项为 2 的八位数有

$\frac{(2+2+3)!}{2!2!3!} =210$ 个 ……2 分

则由 2 个 0、3 个 2 和 3 个 5 构成的首项为 5 的八位数也有

$\frac{(2+2+3)!}{2!2!3!} =210$ 个 ……2 分

故由加法原则得 x=210+210=420. ……1 分

2．设图 G 有 14 个顶点，27 条边，每个顶点的度只可能为 3、4 或 5，且 G 有 6 个度为 4 的顶点，问 G 有多少个度为 3 的顶点？多少个度为 5 的顶点？

解析：设 G 中有 x 个度为 3 的顶点，

则 G 中有 $14-6-x = 8-x$ 个度为 5 的顶点 ……2 分

由于顶点度数之和等于边数的两倍得 $5(8-x) +3x+4*6 = 2*27 = 54 \Leftrightarrow 40 -2x-30=0$ ，即 x=5

……2 分

故 G 中有 5 个度为 3 的顶点，3 个度为 5 的顶点。 ……1 分

3．有 200 本相同的书，欲摆放在四个不同的书柜里，使得每个书柜摆放的书的数目只可能是 20、40、60、80、100 本，问有多少种摆放方法？

解析：这题考组合，因此可以用母函数来解，即

$G(x) = (x^{20} + x^{40} + x^{60} + x^{80} + x^{100})^4$ 求 $x^{200}$ 的系数。 ……2 分

$G(x) = (x^{20} + x^{40} + x^{60} + x^{80} + x^{100})^4 = x^{80}(1+x^{20}+x^{40}+x^{60} + x^{80})^4$

$= x^{80}(\frac{1-x^{100}}{1-x^{20}} ) ^4$ (这步转换 $t = x^{20}$ , $\frac{1}{1-x} = (1+x+x^2+x^3+....)$ )

……2 分

$= x^{80}(1-x^{100})^4 ( 1-x^{20} ) ^{-4}$ (式1)

$(1-x^{100})^4 = 1 - 4x^{100} + 6x^{200} - 4x^{300} + x^{400}$

$( 1-x^{20} ) ^{-4} = \sum_{k=0}^∞C_{(3+k,k)}x^{20k} =\sum_{k=0}^∞C_{(3+k,3)}x^{20k}$ ，则式1可以表示为：

$= x^{80}( 1 - 4x^{100} + 6x^{200} - 4x^{300} + x^{400})(\sum_{k=0}^∞C_{(3+k,3)}x^{20k})$ ……2 分

故 $x^{200}$ 的系数为 $C_{(9,3)} - 4C_{(4,3)} = \frac{9*8*7}{3*2} - 4*4 =68$

所以有 68 种放法。 ……1 分

4．设集合 A={a, b}，试回答下列问题：

（1）写出A上所有的偏序关系。

（2）写出 A 上所有的函数，并指出哪些是双射函数。

解析：

（1）A 上的偏序关系有如下 3 个：

$R_1= I_A= \{<a,a>, \}；$

$R_2 = I_A∪\{<a, b>\}；$

$R_3= I_A∪\{< b, a>\}；$ ……3分

（2）A上的函数共有4个：

$f_1 = \{<a, a>, \}；$

$f_2 = \{<a, a>, \}；$

$f_3 =\{<a, b>, \}；$

$f_4 = \{<a, b>, \}$ 其中 $f_2,f_3$ 是双射函数。 ……3分

四、证明题（共 6 分）

对任意集合 A、B，试证明 $A \cap B＝A\Leftrightarrow A \subseteq B$ 。

证明：先证 $A \cap B＝A\Rightarrow A \subseteq B$

若 $A \cap B＝A$ ，则： $\forall x，x∈ A$

$\Leftrightarrow x ∈ A\cap B$ $(A\cap B = A)$

$\Leftrightarrow x∈A∧ x∈B$ (集合交定义)

$\Rightarrow x ∈B$ (命题逻辑化简律)

从而有 $A \cap B＝A\Rightarrow A \subseteq B$ 。 ……3分

再证 $A \subseteq B \Rightarrow A \cap B＝A$

利用反证法，假设 $A \subseteq B$ ，但 $A \cap B\neq A$ ，则

（1）必存在元素 e，e∈A，但 e 不属于 $A \cap B$ 。

即 $e∈A∧e\notin B$ ，而由 $A \subseteq B$ 知，e∈A必有e∈B，

则e∈A必有 $e∈A\cap B$ ，所以假设不成立。

或

（2）假设 $A \subseteq B$ ，但 $A \cap B\neq A$ ，则存在元素 $e∈A\cap B$ ，但 e 不属于 A。

由 $e∈A\cap B$ ，则有e∈A∧e∈B，同样与假设矛盾。 ……3分

综合上述，有 $A \cap B＝A\Leftrightarrow A \subseteq B$ 成立

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