近世代数理论基础32:有限域
2019-03-10 本文已影响11人
溺于恐
有限域
由有限个元组成的域称为有限域,又称为伽罗瓦域
整数模p的剩余类环是一个有p个元的有限域
显然,任一有限域F包含的素域一定是,而不可能是
F是的一个有限扩张,因而
,F可看作
上的一个n维向量空间
设是F在
上的一组基,则F中每个元可唯一表成
F中恰有个元
定理:任一有限域的元个数为素数方幂,即任一有限域的特征一定是素数,若特征是p,则这个有限域是的有限扩张,若扩张次数为n,则这个有限域的元个数为
注:或
表示含有q个元的有限域,其中q一定是素数的方幂
例:
1.是
中的2次不可约多项式,故
是一个含有4个元的域
以表示
的一个根,则
中四个元为
上的加法运算表为
上的乘法运算表为
2.设,
在
上没有根,故
是
上的不可约多项式
是一个含有9个元的域
以表示
的一个根,则
中9个元为
由多项式环中模
的剩余类环
的运算法则,可得
的加法运算表和乘法运算表
如
设是有q个元的有限域,其中
是一个素数方幂
的全体非零元组成一个阶为
的乘法群,故
的任一非零元是
的根
即的q个元都是
的根
,故
没有重根
即
在
上的分裂域
一定存在,且在同构意义下唯一
定理:,含有
个元的域一定存在,且在同构意义下唯一
注:有限域的非零元组成的
阶乘法群
一定是一个循环群
例:
1.是
中的2次不可约多项式,以
表示
的一个根
是循环群,
是它的生成元
2.是
上的不可约多项式,以
表示
的一个根
是由
生成的8阶循环群
除外,
也都是
的生成元
共有个生成元(
为欧拉函数)
定理:任一有限域的非零元组成的乘法群是循环群
证明:
本原元
循环群的生成元称为
的本原元
本原多项式
定义:设,
的本原元在
上的极小多项式称为
上的(n次)本原多项式
定理:设,有限域
是其素域
的单扩张
证明: