近世代数

近世代数理论基础32:有限域

2019-03-10  本文已影响11人  溺于恐

有限域

由有限个元组成的域称为有限域,又称为伽罗瓦域

整数模p的剩余类环F_p=\Z_p是一个有p个元的有限域

显然,任一有限域F包含的素域一定是F_p,而不可能是\Q

F是F_p的一个有限扩张,因而\exists n\in Z_+,F可看作F_p上的一个n维向量空间

\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n是F在F_p上的一组基,则F中每个元可唯一表成

c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\cdots+c_n\alpha_n,c_1,c_2,\cdots,c_n\in F_p

F中恰有p^n个元

定理:任一有限域的元个数为素数方幂,即任一有限域的特征一定是素数,若特征是p,则这个有限域是F_p的有限扩张,若扩张次数为n,则这个有限域的元个数为p^n

注:F_qGF(q)表示含有q个元的有限域,其中q一定是素数的方幂

例:

1.f(x)=x^2+x+1​F_2[x]​中的2次不可约多项式,故F_4=F_2[x]/(f(x))​是一个含有4个元的域

\alpha表示f(x)的一个根,则F_4中四个元为0,1,\alpha,1+\alpha

F_4上的加法运算表为

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &0&1&\alpha&1+\alpha\\ \hline 0&0&1&\alpha&1+\alpha\\ \hline 1&1&0&1+\alpha&\alpha\\ \hline \alpha&\alpha&1+\alpha&0&1\\ \hline 1+\alpha&1+\alpha&\alpha&1&0\\ \hline\end{array}​

F_4​上的乘法运算表为

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &0&1&\alpha&1+\alpha\\ \hline 0&0&0&0&0\\ \hline 1&0&1&\alpha&1+\alpha\\ \hline \alpha&0&\alpha&1+\alpha&1\\ \hline 1+\alpha&0&1+\alpha&1&\alpha\\ \hline\end{array}

2.设f(x)=x^2+2x+2\in F_3[x]​,f(x)​F_3​上没有根,故f(x)​F_3​上的不可约多项式

F_9=F_3[x]/(f(x))是一个含有9个元的域

\alpha​表示f(x)​的一个根,则F_9​中9个元为

0,1,2,\alpha,1+\alpha,2+\alpha,2\alpha,2\alpha+1,2\alpha+2

由多项式环F_3[x]中模f(x)的剩余类环F_3[x]/(f(x))的运算法则,可得F_9的加法运算表和乘法运算表

(1+2\alpha)\cdot (2+2\alpha)

=2+2\alpha+4\alpha+4\alpha^2=2+\alpha^2=\alpha

F_q=\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_q\}是有q个元的有限域,其中q=p^n是一个素数方幂

F_q的全体非零元组成一个阶为q-1的乘法群,故F_q的任一非零元是x^{q-1}-1的根

F_q的q个元都是f(x)=x^q-x的根

f’(x)=qx^{q-1}-1=-1,故f(x)没有重根

F_qf(x)F_p上的分裂域

F_q一定存在,且在同构意义下唯一

定理:\forall 素数p,\forall n\in Z_+,含有p^n个元的域一定存在,且在同构意义下唯一

注:有限域F_q的非零元组成的q-1阶乘法群F_q^*一定是一个循环群

例:

1.f(x)=x^2+x+1F_2[x]中的2次不可约多项式,以\alpha表示f(x)的一个根

F_4^*=\{1,\alpha,1+\alpha\}=\{1,\alpha,\alpha^2\}

=\{1,1+\alpha,(1+\alpha)^2\}

F_4^*是循环群,\alpha,1+\alpha是它的生成元

2.f(x)=x^2+2x+2\in F_3[x]F_3上的不可约多项式,以\alpha表示f(x)的一个根

\alpha^2=1+\alpha,\alpha^3=\alpha+\alpha^2=1+2\alpha

\alpha^4=\alpha+2\alpha^2=2,\alpha^5=2\alpha

\alpha^6=2\alpha^2=2+2\alpha,\alpha^7=2\alpha+2\alpha^2=2+\alpha

\alpha^8=2\alpha+\alpha^2=1

F_9^*是由\alpha生成的8阶循环群

\alpha外,\alpha^3,\alpha^5,\alpha^7也都是F_9^*的生成元

共有\varphi(8)=4个生成元(\varphi为欧拉函数)

定理:任一有限域的非零元组成的乘法群是循环群

证明:

F_q的非零元组成阶为h=q-1的乘法群F_q^*

将h因子分解为h=\prod\limits_{i=1}^d p_i^{v_i}

其中p_i(1\le i\le d)为互不相同的素因子

\forall 1\le i\le d,x^{h\over p_i}=1

在F_q中最多由h/p_i个解

\therefore \exists a_i\in F_q,使a_i^{h\over p_i}\neq 1

令b_i=a_i^{p_i^{h\over v_i}}

显然,b_i^{p_i^{v_i}}=a_i^h=1

b_i^{p_i^{v_{i-1}}}=a_i^{h\over p_i}\neq 1

\therefore b_i的阶为p_i^{v_i}

\because p_1^{v_1},p_2^{v_2},\cdots,p_d^{v_d}互素

\therefore b=\prod\limits_{i=1}^d b_i\in F_q^*的阶为h=p_1^{v_1}p_2^{v_2}\cdots p_d^{v_d}

\therefore F_q^*是循环群\qquad\mathcal{Q.E.D}

本原元

循环群F_q^*的生成元称为F_q的本原元

本原多项式

定义:设q=p^n,F_q^*的本原元在F_p上的极小多项式称为F_q上的(n次)本原多项式

定理:设q=p^n,有限域F_q是其素域F_p的单扩张

证明:

取\alpha为F_q的本原元

则F_q=F_p(\alpha)\qquad\mathcal{Q.E.D}

上一篇 下一篇

猜你喜欢

热点阅读