大学生数学竞赛

解析几何考研题

2019-02-12  本文已影响0人  抄书侠

北京大学

2009

9.请问直线
l : \left\{\begin{array}{l}{A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0} \\ {A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0}\end{array}\right.
的系数满足什么条件时采具有以下性质？
(1)经过原点
(2)与x轴平行但不重合
(3)和y轴相交
(4)与z轴垂直(不必相交)
10.设平面Ax+By+Cz+D=0与双曲抛物面2z=x^2-y^2的交线为两条直线，证明：A^2-B^2-2CD=0
11.设空间直角坐标系中的曲面Q方程为x^2+y^2-z^2=1，取一个过z轴的平面\Sigma并考虑全体与之平行的平面族。问：这些平行平面与Q的截线是什么类型的曲线？当它们与\Sigma的距离变动时，截线的形状如何变化？请给出清楚的描述并说明判断理由。
12.给出空间中半径为1的球面S和到球心距离为2的一点P，考虑过P点且与S相交的任一条直线，取两个交点的中点，用解析几何的方法证明这些中点的轨迹在一个球面上，并求出球心和半径。

2010

9.求过z轴且与平面x+2y+3z=1夹角为60^。的平面的方程。
10.求直线\left\{\begin{array}{l}{x-y+z=1} \\ {x+y-z=1}\end{array}\right.绕z轴旋转所成旋转曲面的方程，并指出这是什么曲面。
11.定义仿射坐标系XOY中的一个变换f=\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=7 x-y+1} \\ {y^{\prime}=4 x+2 y+4}\end{array}\right.(1)求在f下的不变直线
(2)以两条不变直线为坐标轴建立仿射坐标系X'O'Y'，求在此坐标系中f的变换公式。
12.用不过圆锥顶点的平面切割圆锥，证明所截的曲线只可能为椭圆，双曲线和抛物线。并说明曲线类型随切割角度的变换规律。

2011

5.空间中从同一点出发的四个向量共面的充要条件是[a, b, c]-[b, c, d]+[c, d, a]-[d, a, b]=0其中[x,y,z]表示混合积
6.到两异面直线的距离相等的点的集合是什么图形？
7.证明：
(1)平行的平面束割锥球得到的割线也是椭圆，并且这些平行的椭圆有共同的中心点。
(2)固定点到椭球的切线，其切点的集合是一个平面。
(3)设p,q是椭球面外2个点，q在Op上，过p和q分别作椭球面的切线，则切点所在的2个平面平行；并且这2个平面截椭球得的椭圆的中心与O共线。

2013

8.A是圆心在x轴正方向过原点的圆上一动点，B是z轴上的动点，且|OA|=k|OB|，k为定值。求AB直线确定的曲面方程。
9.根据二次曲面方程参数讨论曲面类型。
10.给定了一个锥面，还有一个带两个参数的直线，讨论截口形状，并画图。

2014

7.求单叶双曲面\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1垂直的直母线交点的轨迹。
8.保距变换\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=a_{11} x+a_{12} y+a_{13} z} \\ {y^{\prime}=a_{21} x+a_{22} y+a_{23} z} \\ {z^{\prime}=a_{31} x+a_{32} y+a_{33} z}\end{array}\right.可以看做绕不动直线旋转一个角度而得到。
(1)求不动直线的方向向量。
(2)求旋转角\theta
9.点A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)在直线\frac{x+1}{2}=\frac{y+b}{2}=\frac{z}{3}上的投影为A_1,B_1求A_1,B_1的坐标以及两点间的距离。

2016

8.平面上一个可逆仿射变换将一个圆映为椭圆或圆。详细论证这一点。
9.平面Ax+By+Cz=0与双曲抛物面2z=x^2-y^2交于两条直线。证明A^2-B^2-2CD=0
10.正十二面体有12个面，每个面为正五边形，每个顶点连接3条棱。求它的内切球与外接球半径比。

2017

7.\vec{a},\vec{b},\vec{c}共面的充要条件为\vec{\alpha} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}共面。
8.空间中四点O,A,B,C使得\angle A O B=\frac{\pi}{2}, \angle B O C=\frac{\pi}{3}, \angle C O A=\frac{\pi}{4}设AOB决定的平面为\pi_1，BOC决定的平面为\pi_2，求\pi_1,\pi_2二面角。求出二面角的余弦值即可。
9.F为单叶双曲面，\vec{n}为给定非零向量，则空间中所有与\vec{n}垂直的平面与F交线的对称中心在一条直线上。

2018

8.取定一个平面坐标系。方程a x^{2}+4 x y+a y^{2}-10 x+20 y-1=0(a>0)
表示一条抛物线。
(1)求a
(2)求抛物线的顶点
9.记A是与下面三条直线都相交的直线的并集：\left\{\begin{array}{l}{y=0} \\ {z=0}\end{array}\right., \left\{\begin{array}{l}{x=1} \\ {z=1}\end{array}\right., \left\{\begin{array}{l}{x=-1} \\ {y=-1}\end{array}\right.给出A的一个一般表达式f(x,y,z)=0，其中f是一个三元多项式。
10.证明几何空间中任一个旋转变换f，只要转轴通过原点，就一定写成f=g_{z} \circ g_{y} \circ g_{x}的形式，其中g_x,g_y,g_z分别表示绕x,y,z轴的旋转变换。

中国科学技术大学

2010

1.二次曲线x^{2}-4 x y+y^{2}+10 x-10 y+21=0的类型是______，通过转轴去掉其交叉项的转角角度是______(只需填写一个角度即可)
2.以曲线\left\{\begin{array}{l}{y=x^{2}} \\ {z=2}\end{array}\right.为准线，原点为顶点的锥面方程为______。
3.以xOy平面上的曲线f(x,y)=0绕x轴旋转所得的旋转面的方程是______。如果曲线方程是x^2-y^2-1=0由此得到的曲面类型是______。
三、设空间上有直线l_{1} : \frac{x-1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}和l_{2} :(x, y, z)=(3+2 t, t, 3 t-3)设平面\pi与直线l_1,l_2平行，且\pi与l_1的距离是\sqrt{91}求\pi的方程。

2011

1.两个平面z=x+2y和z=-2x-y的夹角等于______。
2.点(0,2,1)到平面2x-3y+6z=1的距离等于______。
3.二次曲面xy+z^2=1的曲面类型是______。
11.设点A(1,1,-1), B(-1,1,1), C(1,1,1)求\triangle A B C的外接圆的方程。

2012

1.在\mathbb{R^3}中，直线x=y=z与平面z=x-y的夹角的余弦值等于______。
2.在\mathbb{R^3}中，方程xy-yz+zx=1所表示的二次曲面类型为______。
3.在\mathbb{R^4}中，设三点A,B,C的坐标分别为A(1,0,1,0), B(0,1,0,1), C(1,1,1,1)则\triangle ABC的面积等于______。
9.求\mathbb{R^3}中直线x-1=y-2=z-3与x=2y=3z的公垂线方程。

2013

1.两直线1-x=2y=3z与x=y+2=2z+4的夹角为______，距离为______。
2.当实数a,b,c满足______时，曲面z=ax^2+bxy+cy^2是椭圆抛物面。
7.求x轴绕直线x=y=z-1旋转所得旋转曲面的一般方程。

2014

1.原点到直线x+1=y+2=z+3的距离为_____。
2.设点P(1,2,3)与原点关于平面\pi对称，则\pi的方程为______。
3.椭圆x^2+xy+y^2=1的离心率为______。

2015

1.点(1,0,1)关于直线2x-1=y-1=2z-1的对称点为______。
2.设直线l过点(3,7,-8)，并且与直线l_1:x=\frac{y}{2}=-\frac{z}{3}以及直线l_2:\frac{x-1}{2}=y+2=z-3均有交点。则l与l_1的交点为______，l与l_2的交点为______。

2016

1.经过直线x=y=2-z且与平面x+2y+3z=5垂直的平面方程是______。
2.给定空间直角坐标系中点A(1,0,-1),B(0,1,-1),C(2,1,2)和D(5,4,1)则四面体ABCD体积为______，点D到平面ABC的距离为

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