趣味数学：葫芦娃七兄弟交换宝物

2022-05-30 本文已影响0人易水樵

葫芦娃七兄弟各有一件宝物，每一个葫芦娃都送出自己的宝物，也得到另一个葫芦娃的宝物，但不允许任意两个葫芦娃互相交换宝物。一共有多少种不同的交换方案？

【解析】

首先，仔细读题，并正确地理解规则：不允许任意两个葫芦娃互相交换宝物。

这句话的意思是：两个葫芦娃互相交换是不允许的，三个或者四个葫芦娃循环，则规则允许的。

按照以上规则，葫芦七兄弟有两类分组方案：可以把七兄弟全部放在一个大组中；也可以把七兄弟分为两个组，一组3人，另一组4人。

如果七兄弟全在一个组中，交换宝物的方案有 $A^6_6=720$ 种

如果把七兄弟分成两个组（分数分别为3人、4人），分组的方案有 $C^3_7$ 种；

对每一种分组方案，可以分以下两步确定交换方案：

第一步，3人小组交换宝物，有 $A^2_2$ 种；

第二步，4人小组交换宝物，有 $A^3_3$ 种；

因此，分成两组的交换方案共有 $C^3_7\times A^2_2\times A^3_3=420$ 种

两类方案共计有 $A^6_6+C^3_7\times A^2_2\times A^3_3 = 1140$ 种.

【提炼与提高】

本题的解答涉及以下知识：

（1）分类和分步，加法原理和乘法原理；

（2）排列与组合

（3）圆周排列

对于五年级的孩子来说，能够掌握加法原理和乘法原理的人并不少。但是，要在类似这样的大题中综合应用，就只有少数人能够做到。