高阶逻辑,一看就懂

逻辑就是推理（量化、演算）规则。

在自然语言中，逻辑是内隐的。我们通过语言分析试图把逻辑本身表达出来，便产生了符号系统和逻辑学。结果，逻辑学所揭示的逻辑超越了自然语言所内蕴的逻辑。

零阶逻辑也称命题逻辑，自身没有公式化，是自然推理规则。

命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串，但不是由这些符号任意组成的符号串都是命题公式。因此，必须给出命题公式的严格定义。

常项（常量）：若用x表示真值确定的简单命题，则称x为命题常项，命题常项的真值是确定不变的，不是为1，就是为0。
变项（变量）：若用y泛指简单的陈述句，则称y为命题变项，此时y是变量，取值为1或0。
联结词（算子）：常用的有如下五个，非，且（合取），或（析取），蕴含（推出），等价（当且仅当）。

逻辑系统中的常项和算子是经过严格定义和测试的，不同于自然语言中的主语和系词。

一个符号代表一个原子命题（或称命题变元，即不可再分），通过插入一个中介（称占位符）来自然展示对象之间的关系。如：
规则1：A 是 wff，
规则2：¬ A 是 wff；
规则1：B 是 wff；
规则3：（¬ A ∨ B) 是 wff。
中介wff使对象A与B建立起关系，且wff自身在任何情况下都不会产生歧义。wff的真值是确定不变的，不是为1，就是为0。
零阶逻辑规则是可靠的、完备的、非形式的、正确的，并且不再需要其他规则。
可靠性关系：如果G证明A，则G蕴涵A。
完备性关系：如果G蕴涵A，则G证明A。

零阶例子
求证：A → A
证明：
⒈ (A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A))
⒉ A → ((A → A) → A)
⒊ (A → (A → A)) → (A → A)
⒋ A → (A → A)
⒌ A → A
Q.E.D.

“存在”的公理化定义：
1.自反性：
在全集的所有子集中，包含关系是自反的，相等关系=也是自反的；但是，真包含关系不是自反的。整数集合中，关系≤是自反的，而关系<不是自反的。
2.反自反性：
真包含关系是反自反的，但包含关系不是反自反的；小于关系是反自反的，而≤不是反自反的。
3.存在是非自反与非反自反的二元关系。

一阶逻辑引入了两个量词（全称∀和单称∃）以及一阶谓词（即性质，不能量化，性质与性质的交为空集，比如红色可用字母表示但不取值），对个体（最小对象）进行量化，且a直接是a，或记为a=a。

二阶逻辑引入了变量P，对性质（一阶谓词）进行量化，允许a有条件地等于b，从而表达“对于任意包含个体的集合”。

设x,y为个体，两者性质P相同，则有等价关系：
x=y→∀P(Px⇔Py)

三阶逻辑允许引入更多条件，使集合变成公式的集合。

简单地说，一阶量化个体，二阶量化性质（个体关系），三阶量化关系（集合关系）。

所谓“阶”是指抽象度，阶越高离个体性越远。

一阶逻辑是递归可枚举的，可被完整证明，其每一个陈述都保真。
二级逻辑不可递归不可枚举，不可完整证明，其陈述中仅一阶参数保真。
根据哥德尔的结论，经典高阶逻辑的递归公理化过程不允许可靠且完备的证明演算。
但是高阶逻辑接受算子映射，故更富表达力和可能性，且允许构造演算，向物理技术发展。

一阶逻辑只描述对象的外延，其真假判断是直观且客观的。
二阶逻辑对外延进行分析和内涵解释，必须引入谓词（即性质或类），其真假判断是间接的客观的。

举例
一阶：所有人都x。
二阶：如果张三x，那么李四也x。

二阶谓词有内涵，谓词自身有了特殊涵义，谓词自身变成了实体，所以变得抽象了。

一阶对象三要素：
个体外延，纯现象，无本质的这一个。
个体性质，纯现象，有、热、红色等。
个体关系，纯现象，这一个非那一个。

二阶对象被分类
类性质。
类关系。

三阶对象有了整体关系
表述。
被表述的对象。
中介。

通俗地说，人有抽象力，可以探讨（1）个体现象能不能严格确定，（2）关系是什么性质，性质有什么关系，（3）主客关系，世界性质。

二阶谓词为变元，使性质或关系这样的东西成为实体，由此脱离纯现象（先天现象），去架设先验现象。三阶则是还原纯现象。

一元谓词表示性质，二元谓词表示关系。

奎因的两条本体论原则：
1.“是乃变元的值”。——或从性质推出关系，或从关系推出性质。
2.“没有同一就没有实体”。—— 首先，“同一是个体之间的关系”，说明个体与关系的区别。其次，“实体即个体”，说明表述与被表述对象的关系。

在自然语言中，由于一阶逻辑处理不了内涵，所以二阶逻辑引入了一些算子：可能、必然、知道、相信、应该、允许等。