二次函数初探

我们当初学习一次函数时，觉得函数很难理解。所以利用图像来帮助理解，把抽象的概念形象化。

二次函数定义：

源自百度百科

内容偏多，这篇文章暂时只对一般式进行研究。

二次函数的解析式为y=ax²+bx+c(a≠0 a 、b、c为常数)，对应一次函数的为y=kx+b(k≠0)。为什么k不可以等于0，用学过的方程解释：解方程，k作为参数，若为0，则方程会无解。这里用的是三个一次来解决。那么二次函数有没有限定的取值范围？

二次函数中，a,b,c分别为常数，或者被称之为参数。初步假设：a不可以等于0，若等于0则二次方项会为0，且不说数学上并这么写，少了二次方怎么称得上二次函数。同理得：b，c可以为0。

分类研究：a取值：a>0 & a<0（如下图，图1. a>0图2. a<0；b,c为任意常数）

图1 图2

由此可见：a>0开口向上，a<0开口向下。而c点刚好与y轴相交。利用对称轴所在直线与x轴交点公式x=-b/(2a)知：若b等于0，那么x等于0。

作出二次函数y=x²  y=(x+1)²  y=(x-1)²的图像，我们发现每一个图像都有一个唯一的顶点。而这顶点与二次函数解析式y=ax²+bx+c有什么关系？y=x²  y=(x+1)²两式中，a同为正数，c也同为正数，由图看出c为函数图像与y轴的交点，唯独b不同，可以猜测，顶点横坐标与b有关系。那么，有怎样的关系？

2x²+4x+1=2(x²+2x)+1=2[x²+(2)x+1-1]+c=2(x+1)²-2+1=2[x+1)]²-1可得：x=-1

ax²+bx+c=a(x²+bx/a)+c=a[x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²]+c=a(x+b/2a)²-b²/4a+c=a[x-(-b/2a)]²+(4ac-b²)/4a由此可得：x=-b/(2a)

当a>0，b<0时：画出图像的顶点横坐标为正数，反之则为负数

当a<0，b<0时：同样的，画出图像的顶点横坐标为正数，反之则为负数

又出现了一组对称。两组数据可知：若对称轴横坐标为负数，则b与a符号相同，反之则b与a符号相反。

学习一次函数时涉及到了二元一次方程（组），可以进行求解。那这时会不会又遇到求解二元二次方程（组），理论上是会有的。但刚开始研究，可以先让y=0，那么式子就变成了ax²+bx+c=0(a≠0)。这便是二次函数的性质。

有了方程也该有他对应的不等式：ax²+bx+c=0 ax²+bx+c<0 ax²+bx+c>0

继续ax²+bx+c=1 ax²+bx+c<1 ax²+bx+c>1，解得：同上图