正态分布密度函数的系数

2021-06-10 本文已影响0人 Boye0212

正态分布的密度函数，可以一般化地写为
$f(x) = k \exp\left[-\dfrac{1}{2}(x-b)' A (x-b)\right]$

事实上，如果某个多维随机变量的密度函数可以写成该形式，那么它就服从正态分布。其中 $b$ 是均值，正定矩阵 $A$ 是协方差矩阵的逆，它们共同决定的正态分布的形式。而另外一个字母 $k$ ，仅仅是归一化系数，它是满足整个密度函数的积分等于 $1$ 的那个值。

如果有人背过公式，会发现这个系数的形式比较复杂。本文具体来看看，它是怎么计算出来的。

由于 $A$ 是正定的，必有分解 $A=CC'$ 。先做个变换，令 $x-b=(C')^{-1}y$ ，那么
$(x-b)' A (x-b) = y' C^{-1}A(C')^{-1}y = y'y$

同时，该变换的Jacobian matrix为 $J = \det [(C')^{-1}]=1/\det(C)$ 。

假设 $x$ 是 $d$ 维，则 $y$ 也是 $d$ 维，将其各维写出，有 $y = (y_1,\cdots,y_d)'$ 。接下来，对密度函数进行积分：
$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx_1 \cdots dx_d\\ =& \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} k\exp(-\dfrac{1}{2}y'y) |J| dy_1 \cdots dy_d\\ =& \dfrac{k}{|\det(C)|} \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \prod_{i=1}^{d}\exp(-\dfrac{1}{2} y_i^2) dy_1 \cdots dy_d\\ =& \dfrac{k}{|\det(C)|} \prod_{i=1}^{d} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\dfrac{1}{2} y_i^2) dy_i \\ =& \dfrac{k}{|\det(C)|} \prod_{i=1}^{d} \sqrt{2\pi} \\ =& \dfrac{k}{|\det(C)|} (2\pi)^{d/2} \\ =& k [\det(A)]^{-1/2} (2\pi)^{d/2} \end{aligned}$

上述积分必定等于 $1$ ，因此，
$k=(2\pi)^{-d/2} [\det(A)]^{1/2}$

正态分布密度函数的系数

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