哈哈~解决了一个问题，找到了青春的赶脚

暑假的时候给闺女买了一本数学的教辅材料，开学以后闺女作业多，一直没工夫写，我怕书浪费了，就决定自己写一写。打开才发现有很多都是竞赛题，正好20多年没做过这样的题了，我也锻炼锻炼自己的脑细胞，防止一下老年痴呆吧！

左边荧光笔标出的公式我没有证明过 用一个并没有经过我证明而得到的公式推导的结论不能让我信服

前天晚上做到了这道题，由于时间关系，虽然把题目给定的问题解决了，但给出的公式我并不知道是怎么来的，题目就这样陷入了一个死循环。以我爱刨根问底的性格，不弄个水落石出心里总觉得有事儿，就决定趁空把公式推倒一下。

论证如下：

1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。

设：S=1²+2²+3²+…+n²

另设：S₁=1²+2²+3²+…+n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²

此步设题是解题的关键

第一：S₁=1²+2²+3²+…+n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²中的1²+2²+3²+…+n²=S

(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²可以展开为：

(n²+2n+1²)+( n²+2×2n+2²) +( n²+2×3n+3²)+…+( n²+2×nn+n²)=n³+2n(1+2+3+…+n)+ 1²+2²+3²+…+n²

即S₁=2S+n³+2n(1+2+3+…+n)————→(1)

第二：S₁=1²+2²+3²+…+n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+…+(n+n)²

可以写为：S₁=1²+3²+5²…+ (2n-1)²+2²+4²+6²…+(2n)²

其中：

2²+4²+6²…+(2n)²=2²(1²+2²+3²+…+n²)=4S————————————→(2)

1²+3²+5²…+(2n-1)²

=(2×1-1)²+(2×2-1)²+(2×3-1) ²+…+ (2n-1)²

= (2²×1²-2×2×1+1) +(2²×2²-2×2×2+1)+(2²×3²-2×2×3+1)+…+ (2²×n²-2×2×n+1)

=2²×1²+2²×2²+2²×3²+…+2²×n²-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n

=2²×(1²+2²+3²+…+n²)-2×2 (1+2+3+…+n)+n

=4S-4(1+2+3+…+n)+n————→(3)

由(2)+ (3)得：S₁=8S-4(1+2+3+…+n)+n→(4)

由(1)与(4)得：2S+ n³+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n

即：

6S= n³+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n

=n[n²+n(1+n)+2(1+n)-1]

=n(2n²+3n+1)

=n(n+1)(2n+1)

S=n(n+1)(2n+1)/ 6

亦即：S=1²+2²+3²+…+n²= n(n+1)(2n+1)/6————————→(5)

以上可得：

各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

由(5)代入(2)得：

自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。

由(5)代入(3)得：

自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。

结论：

1.动脑子解题的过程让人着迷，解出题目的成就感让人自信心爆棚；

2.特殊符号的输入虽然麻烦，但能条理清晰地呈现出来，可以让人更直观地感受到数学的美感；

3.用实际行动让孩子认识到用什么样的心态面对问题和困难，坚持、执着和努力到底是什么样子。

另：本人高中以后没学过和数学相关的任何知识，地道的文科生→所以，想陪孩子一起学习，一起长大，你也可以！