前言
前些时间有个朋友在微信群里发了这样一道题：有边长为4cm的正方形如下图，图中弧线都是半径为4cm的圆；求阴影面积。
咋一看这题目很初级，似乎是一道披着几何羊皮的多元一次方程组代数题。于是另外的一些朋友开始这样子假定：图中“凸边正边形”以a表示面积，四片阴影区域中的一片用以b表示面积，四片“凹边三角形”以c表示面积：
于是可以列出下面的方程组：
但写到这里他们就卡住了，因为没有更多的关系式可以列。而学过多元一次方程组的人都知道，这种方程组有多少个未知数就至少需要有多少道关系式，否则就会出现无解，或者无唯一解。故而，这道题并不能简单通过方程组来解答。
我讨厌拐弯抹角的截图思路，所以从一开始就没有列方程组，而是走了“积分”的方案：拿出四片阴影区域中的一片，将之如下图那样分为左右两半；可以看到每一半上下都各有一条曲线，曲线之前的区域就是这一半的面积；将两部分的面积加起来，再乘以4，即可得到阴影整体的面积。
跟列方程组或者做更多辅助线的方案相比，积分属于“硬算”：它的逻辑非常简单，但最后列出来的表达式会很复杂也很难计算。幸运的是，早就存在一些数学软件，它可以快速地将我们输入的积分表达式计算出来。所以硬算已经不是解题的难点，我花了十几分钟的时间输入了积分表达式，再过几秒，数学软件输出了结果：8.18。
小学生是不懂微积分的——小学生若不做奥数题，他甚至不需要懂多元一次方程组，所以跟小学生讲微积分并不现实。但如果受课的对象是初中7年级的学生，那情况则完全不同：一个7年级的学生已经接触了不少的代数知识，也具备基本的几何常识。只要稍作点拨，他便可以快速掌握微积分。所以我打算写一本书，向7年级的学生介绍什么是微积分，以及如何使用微积分。在这本书里，我会告诉他们：
- 函数的定义、几何意义以及初等函数
- Mathematica的使用
- 圆锥曲线
- 函数极限
- 导数和微分
- 函数极值
- 积分与面积计算
- 多元微积分
这将会是一本浅显的入门教程，我会更多地以实际例子来引入概念，并得出定义，而非基于某个抽象的假设，并以严格的数学证明来明确定理。在这一点上，小学的数学课本做得很好，它在介绍圆面积的计算时采用了“切圆术”，只是说4分圆看起来想什么、8分圆之后更像了、16分更更像了。由此得出推论，只要不断细分，最后就是那个图形。它避开了函数极限，也避开了数学归纳法，因为这些知识离小学数学太遥远了，用多6年都不一定能说清楚。但只要结论是对的，对于小学生来说就足够了。这本书也是这样子认为，对于一个7年级的学生来说，他只要接受“微积分是被严格证明过了的”就行了，没必要对这个课程里面的每一个定义、定理、公式进行推演。如果他有这个需求，可以在看完这本书，对微积分有一个基础认识之后，去找专门的教材进行更深入的学习。
