求对称式的值

2023-10-14 本文已影响0人蓝天白云_Sam

方程式: $ax^2 + bx + c = 0$

一元二次方程根的判别式:
$\triangle = b^2 - 4ac$
一元二次方程根于系数的关系
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

例题:
$2x^2 + 6x + 3 = 0$ 的两个根分别是 $x_1,x_2$ ,不解方程求以下的值
求:

$(x_1+1)(x_2+1) =$
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} =$
$x_1^2- x_1x_2 + x_2^2 =$

求解:
$x_1+x_2=-\frac{b}{a} = - \frac{6}{2} = -3$
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1.5$

$(x_1+1)(x_2+1) = x_1+x_2 +x_1x_2+1$
$= -3 + 1.5 + 1 = -0.5$
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{-3}{1.5} = -2$
$x_1^2- x_1x_2 + x_2^2 = x_1^2+ 2x_1x_2 + x_2^2 - 3x_1x_2$
$= (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$
$= (-3)^2 - 3 * 1.5 = 9 - 4.5 = 4.5$

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