自相似现象及其统一性

自相似(self-similarity)是局部与整体相似的现象。自相似在自然界广泛存在，例如黄金分割、斐波那契数列、分形等等，它们之间有着深刻联系。

黄金分割产生于线段的较长部分与整体之比等于较短部分与较长部分之比：d:1=(1-d):d。如果我们以增长的方式来看黄金分割，将较长部分看成较短部分增长后的整体，会发现其实就是部分和整体的相似。如图1所示，一个黄金矩形的宽延长长的长度，也就是补上一个正方形，又成了一个黄金矩形，可以不断由黄金矩形增长出黄金矩形。如图2所示，简单的数字1通过简单而统一的规则不断接近黄金分割，显然也是以自相似的方式增长的过程。

图1  斐波那契螺线 图2  黄金分割的连分数表示

再来看看著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8······ 相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比，即f(n)/f(n-1)→0.618···。这是因为斐波那契数列的前两项之和作为后一项的值，这种增长模式非常类似黄金矩形的增长。事实上，以任意两个数开始按前两项之和作为后一项的值的方式增长，最后相邻两项的比值都会趋于黄金分割比。

帕斯卡三角也是自相似的体现，其来自于的系数。不断和自身相乘的过程与前两个数相加生成后一个数相似，在帕斯卡三角中已经有所体现：上方两个数之和为下方的数。因此帕斯卡三角中隐藏着斐波那契数列，如图3所示。

图3  帕斯卡三角中的斐波那契数列（图片来源：邵勇）

不仅如此，帕斯卡三角里还藏有谢尔宾斯基三角形，这是一个很常见的分形图案，而分形可以说是最典型的自相似了。如图4所示，把帕斯卡三角中所有偶数项剔除，就能得到谢尔宾斯基三角形（图5）。

图4  帕斯卡三角中的谢尔宾斯基三角形
图5  谢尔宾斯基三角形

我们可以看到即使是千差万别的自相似现象之间也是存在联系的，本质上都是同一规律的不同表现，这体现了大自然的简单之美。更深层次的解释可以参考笔者的论文《一切都是守恒的——理解世界的一种新方式》。